孙菊珍
云南省保山市龙陵县天宁中学
摘要:列分式方程解决实际问题和列一元一次方程解决实际问题的思考和处理过程是类似的，只是多了对分式方程的根的检验。这里的检验应包括两层含义：第一，检验得到的根是不是分式方程的增根；第二，检验得到的根是不是使实际问题有意义。
关键词: 分式方程; 常犯错误; 解题方法
一、引言
初中阶段的分式方程应用题主要包含四大类，一是工程问题，二是行程问题，三是销售问题，四是其他问题。本篇论文主要从学生的易错点以及题型分类举例解析从而总结出一般的解题规律以及学习建议。
二、调查结果——学生常犯错误
首先属于学生的非智力因素，造成的主要原因有设未知数的指向不明、列方程时书学不规范、书写时漏掉符号以及解题格式不完整等;其次是学生的智力因素，比如等量关系找错、分式方程未检验、分式方程去分母失误、列成二元二次方程方程组不会解、用小学算术计算求解等。
三、调查反思及建议——针对智力因素
1、等量关系找错的建议是多总结方法。比如从事情变化的结果、从事情变化的过程、从常见的公式、常见的一些具有等量关系的关键词以及隐含的条件中找等量关系。
2、解方程去分母出错的建议：多练习一下寻找最简公分母，并要求按照步骤书写，做到两步一回头。
3、检验部分漏写的建议：跟学生讲清楚分式方程应用题检验的意义。它包括三个层面的含义，包括该根是不是整式方程的根、该根是否使分式方程无解以及该根是不是符合实际意义。
四、分式方程的解法
方程应用题是初中数学的重点和难点，方程应用题的步骤如下：
1.针对行程问题
常用公式：路程=速度×时间；速度=路程÷时间；时间=路程÷速度
行程类问题给出的等量关系一般为一组时间、一组速度，解题关键是找到这两组量的关系。
如果是设时间为x，则用时间和路程表示速度，找时间的等量关系；如果是设速度为x，则用速度和路程表示时间，找速度的等量关系；
例：小明乘坐火车从深圳到东北，行程为2160km，特快列车平均速度是普通列车的1.6倍，小明购买火车票时发现，乘坐特快列车比普通列车少用6h，求小明乘坐特快列车从深圳到东北需要的时间.
解法一：设普通列车速度为x小时，则特快列车速度为1.6x小时
依题意有
解得x=135
经检验，x=135是原方程的根
135×1.6=216km/h
因此，特快列车速度为216km/h，
2160÷216=10h
所以，特快列车从深圳到东北需要10h。
解法二：设特快列车所需时间为x，则普通列车所需时间为（x+6）小时
由题意有
得x=10
经检验，x=10是原方程的根
所以，特快列车从深圳到东北需要10h。
注意：每一道分式方程应用题都可以有两种列式方法，需要同学们都掌握。
2.针对工程问题
常用公式：工作总量=工作效率×工作时间；总工时间=工作总量÷工作效率；工作效率=工作总量÷工作时间
分类:工作总量已知；工作总量未知
对于工作总量已知类型题目，套用上述公式列分式方程即可。
例：某供热公司要铺设一块全程为2400m的暖体管道，为尽量减少施工队交通造成的影响，实际施工每天的功效比原计划增加20%，结果提前20天完成任务，实际每天铺设管道为多长？
注意：当题目中出现两个量之间的关系是一个比另一个多百分之几时，针对的是“比”后边的量。
解：设原计划每天铺设管道x米
依题意有
解得x=20
经检验，x=20是原方程的根
20×（1+20%）=24米
所以，每天实际铺设管道24米。
对于工作总量未知类型题目，我们往往将工作总量视为“单位1”，工作效率为工作时间的倒数。
例：一项工程，若甲队耽误施工40天完成，若甲、乙两对先合做20天，乙队再单独施工20天也可以完成
（1）乙队单独施工多少天能完成这项工程？
（2）若乙队因施工时间不能超过30天，则甲队至少需要干多少天才能完成？
解：（1）设乙队单独施工x天可以完成
依题意有
解得x=80
经检验，x=80是原方程的根
所以，乙队单独施工80天可以完成。
（2）设甲队单独工作a天
依题意有
解得
所以，甲队至少单独工作25天
3.针对经济问题
常用公式：利润=售价-成本；利润率=利润÷成本；销售总额=售价×销售总量；总利润=利润×销售总量
经济类问题一般情况套上述公式，根据量与量之间的关系列分式方程解应用题即可。
例：某城市的A商场和B商场都卖同一种电动玩具，A上场的单价与B商场的单价之比为5:4，用120元在A商场买这种玩具比在B商场少买2个，求这种电动玩具在A商场和B商场的售价分别为多少？
解：设A商场单价为5x元，B商场单价为4x元
依题意有
解得x=3
经检验x=3是原方程的根
所以A商场单价为3×5=15元，B商场单价为3×4=12元。
五、方法总结
1.设未知数:如果问题中有两个并列的，则一般设前面那个为x,把后面那个用x来表示。如果问题问的量设为x之后题目中其他的量不容易用来表示，则设题目中容易表示其他量的量为x，然后把其他的量用x表示出来即可。
2.找等量关系，从而列方程:列方程最重要的是找到等量关系，找到什么等于什么之后，用x来表示等号两边的量即可得到方程。找等量关系的关键在一眼看出等量关系，也就是找到这个题要达到的结果，找等量关系关键就是找到“题目要达到的那句话”。这句话一般都就是问题的前面那句话，如果不是，再到其他位置找。
3，解分式方程：第一步是去分母。注意是去分母，而不是通分。去分母的关键就是方程两边同时乘上所有的分母的最小公分母。这样可以直接去掉所有的分母；第二步是去括号，利用乘法分配率化简；第三步移项。把所有含x的项移到一边，不含x的项移到另一边；第四步合并同类项；第五步把x的系数化为1；第六步：检验。检验结果是否让方程中的分母为零，为零则无意义。
解方程一定要严格按照以上步骤，每一步都达到每一步的结果。不要把一步分成两步，如果计算的太多一步得不到去括号的结果，就可以选择在演草纸上计算，把最后把整个去括号的结果写上去即可。
总结：列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但稍复杂一些。解题时要注意检验，应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，正确列出方程，再进行求解。另外，学生要针对自己易错点从多角度去思考、分析从而提高自己的解题能力。
参考文献：
[1]初中生解方程应用题的典型错误及改进策略研究. [C]. 杨静. 西北师范大学,2018.
[2]分式方程的错例分析及思考[J]. 杨姝娟. 华夏教师,2014,No.036,93-94.
[3]列分式方程解应用题的教学反思[N]. 山东省平邑县兴蒙学校 张继霞. 学知报,2011-05-09.008.