郑圣洁
上海星河湾双语学校，上海 201108
摘要：作为图形三大基本运动之一，图形旋转中的分类讨论问题蕴含着交轨法、变化中寻找不变、分类讨论、化归等数学思想方法。问“是什么”、“为什么”是学生的天性，在教学中以问题串的形式推进，提高学生发现问题、提出问题和解决问题的能力，激发学生探索“还有什么”的好奇心，在几何教学中培养学生直观想象、逻辑推理的数学学科核心素养。
关键词：图形旋转；分类讨论；数学学科核心素养
运动观点下的几何问题综合体现了直观想象和逻辑推理这两大数学学科核心素养。图形运动的问题是历年中考的“常客”。作为图形三大基本运动之一，图形旋转中的分类讨论问题蕴含着交轨法、变化中寻找不变、分类讨论、化归等数学思想方法。学生若只知道解法，而不知如何想到解法，既增加学习负担，也禁锢思维。问“是什么”、“为什么”是学生的天性，如何在教学中提高学生发现问题、提出问题和解决问题的能力，激发学生探索“还有什么”的好奇心，是我们在日常教学中要思考并实践的。下面以初三专题复习阶段，笔者开设的一节公开课《图形旋转中的分类讨论问题》为例，进行具体阐述。
一、内容和内容解析
1.1内容
从旋转不变性出发，分析动点轨迹，做出符合题意的旋转后形成的新图形，通过化归核心图形，运用相应几何方法，解决复杂的图形旋转问题。
1.2内容解析
图形运动的问题是历年中考的难点。这类问题对于学生观察、画图、分析、化归、分类讨论以及综合运用能力提出了很高的要求。
本节课安排在九年级第二学期的专题复习阶段，设计以分析动点轨迹、运用旋转不变性为主线的解题教学课。通过回顾七年级学习的图形三种基本运动之一——旋转，复习旋转三要素、旋转不变性，启发学生在解题过程中分析动点轨迹，发现分类讨论依据，进而利用旋转不变性将新图形化归为熟悉的几何模型，最终利用学生熟悉的等腰三角形、等腰梯形、矩形等几何模型，成功解题。通过解题教学引领思维的深度学习，不断激发学生提问“是什么”，“为什么”，探索“还有什么”，提高学生发现问题、提出问题和解决问题的能力。
二、目标和目标解析
2.1 目标
（1）进一步熟悉图形三种基本运动之一——旋转，掌握旋转的性质、三要素，会根据题意画出对应的示意图；
（2）通过解决图形运动问题来培养并训练学生的观察、分析、化归、综合解题能力，积累相关解题经验。
（3）分析动点轨迹，寻找旋转中的不变量，培养学生“动中找静，动静合一”的数学思维能力、分类讨论的数学思想以及逻辑推理、几何直观想象的数学学科核心素养。
2.2目标解析
本节课的教学重难点是根据动点轨迹画出所有符合题意的图形，利用旋转不变性找出可求解的目标图形。求解过程中，化归核心图形，综合应用解三角形、相似、等腰三角形等知识。
达成目标（1）的标志：学生能够依据题意，利用圆规和直尺准确画出旋转后的新图形，搭建出新数学问题的框架。
达成目标（2）的标志：通过观察、分析，学生能够将陌生的复杂的问题，化归为熟悉的等腰三角形、四边形、解三角形、相似等几何模型。
达成目标（3）的标志：学生能够分析动点轨迹，明确分类讨论依据，对于落点确定和落点不定的图形旋转问题，均能利用旋转不变性，找到解题突破口，将数学思想方法运用到实际解题中。在猜想、证明、解题完成后，进行再探究，归纳并提炼动点与定点之间的内在联系。
三、教学设计与实施
3.1 复习巩固，激发兴趣
问题1：我们在七年级学习过图形的三种基本运动，其中图形旋转的三要素是什么？
追问1：通过观看几何画板上的三角形旋转动态演示，如图1， 你能结合具体图形，说一说旋转前后的两个特定位置下的旋转三要素吗？
追问2：你能说一说，在旋转前后，图形中有哪些量是不变的？
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设计意图：复习旧知，激活已有知识，以基本概念为核心，螺旋式复习，利用几何画板的三角形旋转动态演示，激发学生在具体图形运动问题中应用旋转三要素和旋转不变性的兴趣，为本节课的探究做铺垫。
例1：如图2，在中，，将 绕着点B旋转，使点落在线段上，点C落在点，求的度数。
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师生活动：本题通过教师提问旋转过程中点的运动轨迹，让学生厘清具体问题中的旋转三要素，即旋转角、旋转中心和旋转方向，并独立完成作图，如图3。教师巡视指导，启发学生“包含所求角的目标图形是什么基本图形？”，投影展示学生答案，请学生讲解解题方法，让学生初步体会到应用旋转不变性解决问题的思路。
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设计意图：帮助学生巩固旋转问题三要素，掌握利用旋转不变性准确绘制旋转图形的常规方法，同时巩固了尺规作图构造全等三角形的基本方法，带动学生初步体验应用旋转不变性解题的思路，激发学生自主学习的兴趣。
3.2 变式练习，领悟核心
例1的变式：如图2，在中，，将绕着点旋转，使点落在直线上，点落在点，求的度数。
问题2：这一题和上一题有什么相同之处？有什么不同之处？
预设：学生提出此时点不是落在线段上，而是落在直线上，所以存在两种情况。
追问1：为什么会有两种情况？
师生活动：引导学生考虑点A的运动轨迹，是以B为圆心，长为半径的圆，它与直线的交点，可能在线段上，也可能在射线上。所以要分类讨论，分类依据就是圆与直线的两个交点所在位置。易知情形一即为例1，启发学生运用与例1相同的作图方法，独立绘制情形二的旋转后目标图形，如图4。教师巡视指导，投影展示学生答案，请学生讲解解题方法，将课堂回归学生主体。
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设计意图：帮助学生进一步感知图形旋转的两解情况，利用轨迹思想寻找分类讨论依据，在分类讨论的求解过程中，借助“位置变方法不变”的解题策略，利用旋转不变性将旋转后形成的目标图形化归为熟悉的等腰三角形，提高学生分析综合解题能力。整个过程水到渠成，是理性思维过程的必然产物。
问题3：在例1和例1的变式中有几个等腰三角形？还能再构造出新的等腰三角形吗？
追问1：如图5，这些等腰三角形之间有什么关系？为什么？
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设计意图：学生通过观察、思考，发现并归纳出旋转后形成的若干个等腰三角形的特点，以及它们之间的相似关系，进一步提高发现和提出问题的能力，逻辑推理能力。通过这个环节的问答，适时总结，加强知识之间的联系，培养学生解题反思的习惯，以及化归概括能力。
3.3 拓展探究，综合运用
例2：如图6，在中，点分别是边的中点，将绕着点旋转，点旋转后的对应点分别为点，当直线经过点时，求线段的长。
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师生活动：由前面的学习过程，学生首先会考虑的运动轨迹是以为圆心，分别以为半径的同心圆，并且尝试画出三点共线的目标图形。教师播放几何画板动图，巡视指导，通过提问“绕着点旋转过程中不变的是什么？”引导学生发现在旋转过程中始终不变。
追问1：当直线经过点时，直线和是什么关系？此时，直线和D的运动轨迹圆的位置关系是怎样的？
师生活动：借助几何画板的动图，根据切线判定定理，学生能够发现要绘制三点共线时的旋转目标图形，就是要过点（圆外一点）向的运动轨迹圆引切线，而过圆外一点向已知圆可以引两条切线，这也就顺理成章地发现这又是一道两解的旋转问题，并且成功破解了分类依据，绘制出了旋转后的目标图形，如图7。
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追问2：当A在射线上（情形一）时，如图8，是哪一种特殊的四边形？你可以证明吗？
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预设：学生通过证明，得证四边形是矩形，进而得到矩形对角线相等，即
追问3：当A在射线 上（情形二）时，如图9，四边形是哪一种特殊的四边形？你可以证明吗？
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预设：学生再次借助“位置变方法不变”的解题策略，证明，分别作斜边上的高，易证，所以四边形是矩形，所以，又，所以四边形是等腰梯形。接下来，图形旋转的求解问题就化归为了已知等腰梯形下底、腰长、底角三角比，如何求上底的问题。学生可以轻松得到
追问4：回顾整个解题过程，不变的是，变化的是旋转过程中动点的位置，这两个动点和三个定点（的三个顶点）之间还有什么联系是我们可以挖掘出来的？
师生活动：学生不难发现，在三点共线的两种情形下，决定目标四边形形状的是动点的落点，因此相对于动点来说，动点的落点位置更为重要。教师引导学生去探究两个特殊四边形中，点与之间的关系，使学生发现在三点共线的两种情形下，点都在的外接圆上，如图10，进而推导出共斜边的直角三角形四点共圆这一结论。
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设计意图：这是一道落点不定的图形旋转问题。如何根据题意确定落点位置，绘制旋转后的目标图形是解题的关键。教师借助提问启发、几何画板动态演示，通过交轨法，将复杂的落点不定问题转化为过圆外一点向圆引切线的问题，让学生自然想到需要分类讨论，且分类依据清晰，并能顺利作出目标图形，找到解题突破口。在目标图形的求解过程中，教师继续通过提问，引导学生大胆猜想，严格证明，将旋转后目标图形化归为可求解的特殊四边形的问题。在成功解题后，进一步启发学生探索“还有什么”，挖掘提炼出定点与动点之间的内在联系，培养学生探究和归纳的能力。
3.4 回顾总结，提炼通法
最后师生共同回顾三道例题，总结出解决复杂的图形旋转问题的通法。
（1）根据图形运动轨迹，帮助我们确定落点位置，准确画出可能的目标图形，必要时进行分类讨论。
（2）分析动点轨迹，寻找旋转中的不变量，“动中找静，动静合一”。
（3）利用旋转不变性，将复杂的目标图形化归为我们熟悉的等腰三角形、矩形、等腰梯形等几何图形来求解。
四、教学反思
4.1 充分分析学情，还原以学生为主体的探究型数学课堂
复习课没有现成的教材作为依据，需要教师在理解教材、理解课程、分析学情的基础上选择合适的素材，构建相应课堂。以本课为例，选取图形旋转中的分类讨论问题为研究对象，一方面是因为图形运动是中考压轴题的常见考点之一，而学生在平时作业中反映出作图能力较弱、此类问题得分率较低的问题，所以此研究对象符合学生的认知需求；另一方面此类问题的解决往往涉及到等腰三角形、特殊四边形、直线与圆的位置关系等重要知识点，需要综合运用分类讨论、化归等数学思想方法，具有一定的代表性。在课堂推进过程中，教师通过启发式提问，引导学生通过自主探究，完成“画图——猜想——证明——解题”，整个课堂以学生为主体，是思维自然发展的过程，学生的好奇心和探究精神被充分激发。
4.2 提炼核心思想方法，指导学生举一反三
授人以鱼不如授人以渔，在数学教学中亦是如此。图形旋转问题分为落点确定和落点不定两大类，其中落点不定问题尤其具有挑战性。本节课教师以落点确定的旋转问题作为切入点，师生共同总结思想方法，再应用到落点不定的复杂旋转问题中。其中所涉及的轨迹法、分类讨论、在变化中寻找不变、探索定点与动点之间的关系、化归等数学思想方法是解决诸多几何问题的基本方法。本节课的教学帮助学生透过解题本身，提炼其所蕴含的数学思想方法，是回归数学本质的学习。
4.3 构建逻辑连贯的学习过程，教学中渗透数学核心素养培养
整堂课以解题教学引领思维的深度学习，不断激发学生提问“是什么”，“为什么”，探索“还有什么”，以问题串的形式层层推进，通过提问、质疑、猜想、证明、再探究，每个学生都参与其中，构建了逻辑连贯的学习过程。课堂聚焦数学核心素养的培养，通过尺规作图分析动点轨迹、变化中寻找不变，培养学生几何直观想象能力；通过猜想、证明、化归、再探究，培养学生逻辑推理能力。从而，提高学生发现问题、提出问题和解决问题的能力。在我们日常教学中，教师用心地对待每一节课，着力创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质，激发学生学习数学的兴趣，促进学生实践能力和创新意识的发展，才能真正实现知识技能的掌握和数学学科核心素养的达成有机结合。