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高中数学中函数重点题型解题技巧

发表时间：2021/7/13 来源：《课程-教材-教法》2021年5月作者：朱志伟

[导读] 在高中学习阶段，有关函数部分的知识属于重点内容。实际教学中，教师需要先让同学们了解到整体的框架，在确立了数学认知结构以后，才会有助于记忆和理解所学习的知识内容。针对高中数学函数的重点题型，需要从基础原理入手，结合做题过程中掌握和总结出来的规律，采用多种方法对其进行解析。

福建省云霄县第一中学朱志伟 363300

【摘要】在高中学习阶段，有关函数部分的知识属于重点内容。实际教学中，教师需要先让同学们了解到整体的框架，在确立了数学认知结构以后，才会有助于记忆和理解所学习的知识内容。针对高中数学函数的重点题型，需要从基础原理入手，结合做题过程中掌握和总结出来的规律，采用多种方法对其进行解析。本文从高中数学中函数的知识体系和原理出发，探讨分析高中数学中函数重点题型的解题技巧。
【关键词】高中数学；函数；解题技巧；解析式
        在初中数学学习阶段，同学们就已经接触到了函数。等到了高中时期，在函数方面的内容也逐渐增多和深化，高中数学中的函数不仅被细分，而且还涉及到许多新的概念。在反函数、值域、定义域等内容出现时，学生们首先要明白这些概念的具体含义。面对函数问题时，尤其是相对复杂的重点题型，在探寻解题技巧时，通常会从基础方面开始，将有关概念性的内容全面了解后，实现对各个要点的综合理解，才会发现合适的解题思路。
        一、高中函数的基础知识层面内容
        在逐渐学习高中数学函数内容时，需要依据个人的感知和记忆、思维等特征，在大脑中组成一种独特的规律性结构。按照数学认知能力的不同，在掌握知识期间总是带有比较浓厚的个人色彩。从理解函数的概念出发，就要提前建构起相对应的观念[1]。教师在授课期间，可以先从整体性的角度出发，将高中阶段需要掌握的函数知识进行大致的概括，按照框架式的体系，更容易对传授的内容进行全面把控。
        在函数的基础层面中，函数被分成了两种类型，即横轴（X轴）和纵轴（Y轴）。函数的三要素是：定义域、值域、解析式。函数的性质主要包括四个方面的内容：单调性、奇偶性、对称性以及周期性。对于解题过程中的要求，在了解函数的要素和性质后，还需要熟悉函数的图像。不仅包括函数自身的图像，而且涵盖函数变换后的图像（旋转、对称、平移等过程）。
        高中阶段学习的函数，主要涉及到正比例函数、反比例函数、指数函数、对数函数、一次函数和二次函数，对于六大基础函数的性质需要进行全面掌握。在出题过程中，有时会引入抽象函数以及复合函数，只有掌握了有关基础函数方面的内容，才能够通过推导判断等方式理解新定义的函数类型。
        二、函数重点题型的解题技巧和方式
        1、解决值域相关问题
        （1）数形结合法
        在遇到部分较为特殊的函数问题时，通常会利用题目中给出函数特点，从几何意义出发，尤其是联系到几何体的面积区域以及长度等问题时，就需要借助数形结合法。
        例如，对于给定的函数，要判断出函数的最大值问题时，在按照函数的特点准确地画出图形以后，就可以转变成点到直线的距离或者定点到圆的距离来解决。在结合图形去分析问题时，通常要比观察函数表面的特征更为有效，在直观的基础上，对于问题的判断更加准确和有针对性。
        （2）判别式法
        面对格式比较复杂化的函数式，会将其余部分进行有效的因式分解，结合已知函数的具体特征，最终将其格式调整为关于x降幂排列的方程，以二次方程最为常见，然后通过判别式大于等于0的条件求解出最终的范围。
        例如，对于函数y=(mx2+n)/(ax2+bx+c)这种类型，就可以将分母的部分乘到等式的左边，然后经过数学运算的方法进行整理，最终形成的格式就是一个二次方程，最后直接通过“△”≥0来求取y值的范围。
        （3）换元法
        使用换元法的目的就是将相对复杂的函数体系进行简化，其中的关键点在于需要引入新的变量。在实际应用中，通常会在题目中给出已知的函数，然后让学生们去求解另外一个函数。利用换元法的思维，可以将相对陌生化的函数类型转化为常见的形式，这种做法在解题中经常会使用到[2]。
        （4）反解法
        在运用反解法的时候，通常题目中给出的函数定义域是比较清晰的，结合函数定义域的特征，有效地写出相应的反函数。从反函数的角度出发，进而求得原函数的值域。当然，利用反函数的前提就是原函数必须存在反函数。
        （5）图像法
        对于部分函数问题，如果在经过判断分析后，能够将其转换成为常见的函数种类，并且这种函数的图像可以清晰的描绘出来。在解题期间，有效利用函数的图像就更加具备针对性了。通常在做出函数图像的时候，会很容易发现函数的最大值或者最小值。
        2、求解函数解析式的技巧
        （1）定义法
        定义虽然属于基础性的内容，但是在学习中经常会有忽略的情况出现。按照普遍的思维习惯，数学是比较注重逻辑思维能力的。学生在不断对解题思路进行探索时，会将解题的计算和运用以及技巧作为重点内容，对基本的定义和概念没有重视起来[3]。在对函数解析式进行求解时，就不能忽视定义法。
        如图：

        （2）待定系数法
        对于一元二次函数来说，属于f(x)=ax2+bx+c的形式，其中a值不等于0。若是在题目中给出一个函数，但是从外表观察，并没有直接出现f(x)的形式，在这种情况下，利用待定系数法就会有效解决这一问题。
        （3）换元法
        无论是在求解值域期间，还是在求解函数解析式时，都可以使用换元法，换元法的运用确实可以对问题加以简化，结合具体的实例，在替代以后，求解过程直接有效。
如图所示：

        （4）特殊值法
        在使用特殊值法求解函数解析式时，通常该函数属于f(x)与f(y)的组合形式，并且在题目给出的条件中，对于所有的正整数都可以满足等式的条件。在这种状态下，求解f(x)的解析式并不容易。在解题的时候，就可以抓住任意正整数满足要求的条件，代入数值后寻找到规律。
        总结：
        在面对高中数学函数重点题型时，需要在通读题目的基础上，善于发现考察的内容。通过对函数知识的全面性掌握，综合判断问题，发掘正确的解题思路。在不断实践和探索中，总结同类题型的相关规律，在教师的指导下，全面理解高中数学函数包含的具体知识点，达到灵活运用的状态。在掌握高中数学函数重点题型解题技巧的基础上，最终获得满意的成绩。
参考文献：
[1]陈磊. 高中数学函数问题的多元化解题方法分析[J]. 文理导航, 2020(5):13-13.
[2]周述斌. 高考视野下高中数学函数解题思路探究[J]. 科学咨询, 2020(5):166-166.
[3]陈元学. 高中数学函数解题思路多元化的方法研究[J]. 文学少年, 2020, 000(002):P.1-1.