王成维
浙江省慈溪市浒山中学
摘要：本文从一道高考试题的来源说起，经历从剖析问题的特征和明确解题的方向，将平时积累的经验进行迁移，揭示出问题本质，优化解题策略，培养数学素养．
关键词：问题本质；核心素养
《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“课程标准”）指出：“全面落实立德树人要求，深入挖掘数学学科的育人价值，树立以发展学生数学学科核心素养为导向的教学意识，将数学学科核心素养的培养贯穿于教学活动的全过程．” 因此，在平时的教育教学过程中，要落实核心素养的培养．那么，我们在解题教学中如何落实呢？笔者认为，高考数学试题既考查学生对基础知识和方法的掌握，又考查对数学思想和本质的理解．如果我们在解题中能挖掘背景，抓住特征，明确方向，从而达到优化计算．下面笔者通过对一道浙江高考试题的探究与剖析，就“如何研究学生在解题过程中，抓住问题本质，优化解题策略，提升核心素养”与大家一起探讨．
1 试题呈现
题目1 已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于、两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧．记，的面积分别为，．求的最小值及此时点的坐标．
(2019年浙江省数学高考试题改编)
2 命题意图与试题来源
2.1 命题意图
高考试题中，通过平面图形的展现是解平面解析几何问题的关键，并通过严密的计算来解决问题，既体现了数形结合思想的应用，也考查了直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象等数学素养．
2.2 试题来源
对平面解析几何的内容，学生普遍感觉运算大且以易算错．但不管怎么考，笔者发现，在以往的高考或模拟试题中，还是有轨迹可循的，如：
题目2 设抛物线的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若直线交抛物线于另一点，过点与轴平行的直线和过点与垂直的直线交于点，与轴交于点，求点的横坐标的取值范围．
(2016年浙江省数学高考试题（文）)
3 问题的探究与解答
一）理清思路，明确方向
对解析几何的解答题，主要采用 “设而求”与“设而不求”的思想方法．因此我们以此为导向，寻求问题的思路，进而通过运算解决问题．
思路一 借助题目2的解题经验，采用“设而求”的思想，即设点的坐标，通过运算求出其它的点，以此来表示，的相关边长，从而可以计算面积，再利用基本不等式求最值．
思路二 按照“设而不求”的思想，抓住“点是的重心”，利用几何关系将与的面积，与的面积进行转化，从而得到与的面积比，最后利用基本不等式求最值．
二）精确计算，优化对比
由题意得抛物线的方程为．
方法一、（设而求）设（），，，．
因直线过点，故直线的方程为，
联立方程组，消去并整理得，
故，即，所以．
因为是的重心，
所以，
代入得 ，．
所以直线方程为，即，
所以．
因在点的右侧，故．从而
．
令，
．
当且仅当即时取等号，
所以的最小值为，此时．
方法二、设，，，，，，不妨设，
因为 点是的重心，
所以 ，
由 ，，且
可得 ．
由,,三点共线，可得，同理可得，
因为，所以，
令，则
，
当且仅当即时取等号．
所以的最小值为，此时．
4 解题感悟与反思
课程标准指出：“教师要把教学活动的重心放在促进学生学会学习上，积极探索有利于促进学生学习的多样化教学，不仅限于讲授与练习，也包括引导学生阅读自学、独立思考、动手实践、自主探索、合作交流等．”也就是说，我们在教学过程中不能就题论题，而是要通过解题，善于总结基本概念、方法和数学思想，抓住问题本质，再将问题所体现的内涵和方法进一步引申，切实提升数学素养．
（1）夯实基础
注重数学核心概念的学习，并要加以理解和应用；要分析问题的特征，洞悉问题的本质，同时要掌握解题的基本思想方法，会总结解题经验并能迁移，便于解决新的问题．如求解圆锥曲线综合题时要注意两大思想“设而求”与“设而不求”，要明确哪些可以用“设而求”思想，哪些可以用“设而不求”思想，用哪种思想使得计算简便等．
（2）注重变式
要改变问题的形式，使学生在解题中获得的知识、方法、技能和活动经验能顺利迁移，并能进一步归纳、拓展，逐步挖掘本质，从而提高解题的能力，切实提升数学素养．如平面解析几何的变式主要有：改变图形的特征和部分条件等，我们可以引导学生分析特征，理清思路，挖掘思想方法：数形结合、函数与方程和转化化归思想，培养学生的方程、函数、不等式和几何意识．题目1的变式如下：
变式1．已知点是椭圆的左焦点，且，过点的直线交椭圆于、两点，点在椭圆上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，在椭圆内且在点的右侧．记，的面积分别为，．求的最小值及此时点的坐标．
变式2．（义乌市2020学年高三第一次模拟）已知抛物线的焦点为，斜率为的直线过点，直线与抛物线相交于，两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）直线过点，且倾斜角与互补，直线与抛物线交于，两点，且与的面积相等，求实数的取值范围．
总之，在平时的教学中，我们要立足于基础，引导学生分析问题特征，抓住问题本质，以培养学生的运算和思维能力．留给学生足够的思考和交流的时间和空间，让其发现问题的切入点、方法源，理解基础知识，掌握基本思想方法，内化基本活动经验，并通过一题多解和变式训练，来逐步巩固课堂成果，以锻炼学生良好的思维品质，提升学生数学学科核心素养．
参考文献：
[1][1]刘峰. 浅谈解析几何题的解题策略——以一道模考题为例[J]. 数学教学通讯, 2013, 000(009):51-52.
[2]闫伟, 吴银军. 把握本质 通透解题 提升素养——对一道解析几何模考题的探究与思考[J]. 数学教学通讯, 2020(30).