姜凤霞
济南市历下区燕翔小学，山东济南 250014
摘要：中国传统文化中有“天圆地方”，所以中国建筑中经常见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。教学案例从问题出发，引导学生多维思考，克服思维定式，适时渗透中国传统文化的教育，培养学生灵活应用的意识。课堂因问题而精彩，让学生带着问题探索、研究对激发学生的积极性和创新意识、实践能力都有益处。
关键词：问题 外方内圆 外圆内方 教学案例
一、案例描述
“外方内圆 外圆内方”是人教版小学数学六年级上册新增的教学内容，由于是新增教学内容，对这节课的深入研究和探讨都比较少。虽然学生已经学过了求组合图形阴影部分的面积，但是让学生在探索外方内圆和外圆内方一般规律的建模过程和直观想象应用中还存在着极大的挑战性。面对困难很多学生会选择逃避，怎么调动学生的积极性，激发探索欲望呢？敢于提出问题，学会提问题，善于提问题，培养学生敢于质疑的数学核心素养使本节课成功的突破，效果显著。
二、案例分析
（一）渗透数学文化，视频导入课程。
师：中国传统文化中有“天圆地方”，所以中国建筑中经常见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计，让我们一起来欣赏。播放视频。
【分析】通过欣赏一系列的古建筑和艺术品，使学生感受到了数学源于生活,生活中又处处充满着数学，并在图形组合和位置变化中，初步知道了“外方内圆”和“外圆内方”这两种组合图形。数学文化的渗透，让学生感受到了数学的价值。
（二）创设问题情境，带着问题开启探索之旅。
师：王爷爷家里有一块地，他想让这块地变得美美的。我们和王爷爷一起去设计设计？我们先看一下王爷爷的设计图。（板书：外方内圆。）
师：看看王爷爷需要解决什么问题？是什么？ 生：要买多少草皮呢？
师：谁来帮王爷爷想想办法？
生：草皮的面积就是用正方形地的面积减圆形花坛的面积。
【分析】对于古建筑的研究有点远离学生的生活，“王爷爷家的地怎么变美？”这个生活问题的提出，贴近学生的最近发展区，每个学生都是小设计师，带着问题和任务开启探索之旅，让学生对这节课充满了期待，极大地激发了学生学习的兴趣和探索的热情。
（三）探究外方内圆，解决问题。
师：我们能帮帮王爷爷吗？拿出你们学习单的第一页开始吧！
师：同学们，要解这道题的关键是什么？
生：圆的直径=正方形的边长（课件展示：圆的直径=正方形的边长）
师：咱们一起总结一下。草皮的面积怎么求出来的？
生：草皮的面积=正方形的面积-圆的面积。
师：圆的半径是r，那么圆的面积我们表示成？πr2。正方形的面积呢？4r2。
师：草地面积要怎么表示？ 生：4r2-3.14r2=0.86r2
师总结：我们得出了的一个很好用的结论：S正-S圆=0.86r2
师结论：不管圆的大小如何变化，外切四边形与圆之间的面积都是半径平方的0.86倍。计算时，也可以直接用0.86r2这个结论来进行计算。
【分析】设计时考虑学生的身心发展特点，先让学生独立思考、自主探索研究，碰到问题时再同桌讨论或向老师求助，培养学生的分析问题、提出问题和善于发现问题的意识。因此，学生汇报结束后要对知识进行梳理、回顾和总结，为了将抽象转化为直观，将数据填入统计表格中。通过观察、总结、计算等方式学生很容易发现规律，得出结论，培养学生将直观与抽象结合、运算能力、构建模型等数学核心素养。此环节是解决问题的关键，无论是学生的发言还是老师的不断追问都是知识内化的过程，在层层深入的探索研究过程中,始终为学生创设问题情境,激发学生思维的活跃性。
（四）知识迁移，探索外圆内方。
1.认识外圆内方。
师：王爷爷还想在花园里修个正方形的鱼池，我们看一下设计图。板书：外圆内方
师：谁来帮王爷爷解决一下这个问题？
2.小组合作讨论。
师：下面请小组长带领你们的组员研究研究王爷爷的这个问题，帮助王爷爷解决了这个问题。
3.汇报展示。
第一组汇报。师：你们小组在解决的时候，哪里碰到了困难？那你们怎么解决的呢？
生：正方形的边长不等于圆的直径，我们用以前学过的转化思想把正方形分成了两个大三角形来计算正方形的面积。
师：关于正方形的面积还有别的想法吗？
生：我们小组加了辅助线，把正方形分成了四个小三角形来计算面积。
师：老师这里还有一种方法。正方形的面积=直径×直径÷2
师总结：同学们真厉害，把正方形转化成两个、四个或一个大的等腰直角三角形来计算面积。用旧知识解决新问题，有没有感觉很自豪？
4.总结规律。
师：如果圆的半径是r，正方形的面积怎么表示呢？板书：S圆-S正=1.14r2
师：通过计算我们发现内接正方形与圆之间部分的面积都是半径平方的1.14倍。计算时也可以直接用结论1.14r2 。
【分析】在解决外方内圆的过程中，学生已经掌握了基本的思路，用大图形面积-小图形面积就可以求出面积差。可是这个环节碰到了一个难点，正方形的边长不等于圆的直径，需要用转化的思想来求出。问题是学生自己发现的，小组成员各抒己见，感受发现问题——分析问题——解决问题的过程。小组汇报环节老师启发学生是从已有的“转化思想”为出发点，引导学生亲身去经历、动手操作、再创造，使结论得来的更加深刻而鲜活。
（五）分层练习，拓展提高。
1.王爷爷家花园的半径是10m,你能求出王爷爷需要买多少平方米的草皮吗？
2.王爷爷家花园的半径是10m,你能求出王爷爷需要种多少平方米的花吗？
3.一件古代铜钱的模型（如图），已知外圆的直径是20mm，中间正方形的边长为6mm。铜钱模型的面积是多少平方毫米？
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【分析】分层次设计练习，引导学生在练习中灵活的应用所学规律，并通过丰富的题型训练学生思维的宽度和广度及培养学生应用意识。铜钱环节追问：为什么不能用结论直接做？让学生在思考中明白，要具体情况具体分析。
三、思考与结论
1.联系生活实际，创设学生熟悉的问题情境。
中国传统文化中有“天圆地方”，中国建筑中经常见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计，要研究建筑有点脱离学生的生活情境，因此创设了要为王爷爷的地美化的这样的情境，在整个教学设计中，学生都是以小设计师的身份出现。这样的设计从学生生活实际出发，更有利于引导学生发现问题，大胆提出猜想，不断形成、积累、拓展新的数学生活经验。
2.问题的提出要简洁、明确，有针对性。
问题的提出要接近学生的最近发展区，要简洁、明确有针对性。本节课的问题的提出都是经过思考之后才提出来的，“看看王爷爷需要解决什么问题？”“要买多少草皮呢？”……在同一个环节不能追问太多次，追问的次数多了，会局限学生的发散思维，相当于“填鸭式”教学。教学过程中，注重把时间和空间还给学生，教师只用几个简单的设问，引出学生自主思考探索的过程，使学生的思维的能动性和创造性得到充分激发。
3.尊重学生的想法，使学生敢问敢答。
把表扬性和肯定性的语言贯穿整节课，“你真是个思路清晰的小设计师”“这是老师送给你的小惊喜，敢于质疑，真勇敢”“说的真好，敢于质疑是一种多么良好的学习素养啊，希望你能保持”等。肯定性的语言活跃了课堂氛围，激发了学生提问和回答的积极性。
参考文献：
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[2]汪绿川.围绕解决核心问题展开数学课堂教学[J].华夏教师.2016
[3]钟孝辉.依托导学案进行小组合作学习[J].新课程学习：下.2012
[4]宋慧敏.我校理化生教研组特色教研活动[J].课程教育研究.2017