卢娇丽
湖北省襄阳市樊城区太平店中学
【问题】
人教版义务教育教科书八（上）P85 13.4课题学习 最短路径问题
如图13.4—1，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地。牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
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分析：设B点关于l的对称点为B1
连接AB1交l于C点
∴C点就是所求的点
不少中考题以此为原型，渗透到三角形、四边形等问题中。
【运用】
（1）、在三角形中的运用
例：在等腰△ABC中，∠ABC＝120O，点P为底边AC上的一个动点，M、N分别为AB、BC的中点，若PM＋PN最小值为2，△ABC的周长为
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解：过M点作点M关于直线AC的对称点H，连接HN交AC于点P，此时PM＋PN的值最小。
连接AH，可知∠BAC＝∠HAC＝∠C＝30O
∴AH∥BN
∴AH＝AM＝AB
又BN＝BC，AB＝BC
∴AH＝BN
∴四边形AHNB为平行四边形
∴AB＝HN＝PM＋PN＝2
∴可求得△ABC的周长为
（2）、在四边形中的运用
例：边长为2cm的菱形ABCD，∠BAD＝120O，对角线AC、BD交于点O，点E为AB中点，点P为BD上一点， PE＋PA最小值为
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解：连接CE，
∵A、C两点关于线段BD对称，
设CE与BD的交点为P点，
此时PE＋PA的值最小，且PE＋PA＝EC
∵∠BAD＝120O
易证△ABC为等边三角形
可得CE⊥AB
∴CE＝cm
即PA＋PE的最小值为cm
（3）、在圆中的运用
例：如图，MN为⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30O，B为⌒AN的中点，P为直径MN上一动点，PA＋PB的最小值为
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解：过点A作AH⊥MN于点Q交⊙O于H点，
连接BH交MN与点P，
此时PA＋PB的值最小，且PA＋PB＝BH
连接AO、OH、OB、
∵∠NOH＝∠AON＝2∠AMN＝60O
又B为⌒AN的中点
∴∠BON=30O
∴∠BOH＝90O
在等腰直角△BOH中
易得BH＝
∴PA＋PB的最小值为
（4）、在平面直角坐标系中的运用
例：在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，3），在直线x＝3上找一点P，使AP＋BP的值最小，求此点P
解：∵A（2，0）关于x＝3的对称点为C（4，0）
连接CB交直线x＝3于点P
此时，AP＋BP的值最小
设直线BC的解析式为y=kx＋b
由B（0，3）、C（4，0）
可得
当x＝3时，y＝
∴P（3，）
【解题策略】
1、在此类问题中，只要把握了问题关键，就可触类旁通，在求解的过程中，大多数题目可根据图形的特殊性找一个点关于某直线的对称点，进而达到快速求解的目的。
2、在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。