高考函数压轴题解析

发表时间:2021/7/6   来源:《中小学教育》2021年3月7期   作者:蒋述
[导读] 函数是高中数学学习中的一大重要板块

        蒋述
        本溪市第二高级中学,辽宁 本溪 117000
        摘要:函数是高中数学学习中的一大重要板块。在近几年的高考中,一般都会有一道函数题被作为整张试卷的压轴题,出现在第20题附近。本文对近两年高考中的函数压轴题进行梳理总结。考察的知识点有极值、零点、单调性。虽然问题样式很多,但究其根本依旧是对函数基础理论的考察。想要解决这道压轴题,需要熟练的掌握函数的各个知识点。
1.相关知识的阐述
1.1 单调性
        定义 区间,对区间内的如果,,则在区间上单调递增;如果,, 则在区间上单调递减。
        求法 通常我们求函数的单调性通常不使用定义法,而根据函数的导数。一般地,在某个区间内有导数,如果在这个区间内,那么在这个区间上为增函数,即单调递增;如果在这个区间内,那么在这个区间上为减函数,即单调递减。
1.2极值
    定义 一般,在,及其附近有定义,如果的值比附近各点的值都大此时为的一个极大值;如果的值比附近各点的值都小此时为的一个极小值。
        求法 根据极值的定义不难看出,我们需要先求函数的单调区间,根据函数的增减性就可以很好的判断其极值的情况。所以对于极值类的问题,依旧采用求导求单调区间的方法。
1.3函数零点
        求法 函数零点求解可以根据定义,解方程。但有些十分复杂,很难求出其实根。这时通常将零点问题转换成交点问题。将方程看作函数与函数的交点问题求解。借助于数形结合对于一部分问题有奇效。特别是在处理含有参数函数的零点问题时效果最佳。
2.例题解析
        例 (2019年理科全国高考I卷第20题)已知函数,为的导数。

证明:(1)在区间存在唯一极大值点;(2)有且仅有个零点。
        第一问解法 ,要求解的极大值,需要求其单调性。因此设。,当时,为减函数,为减函数。所以单调递减。可得在上有唯一零点,设为。所以此时,单调递增,时,单调递减。故在区间存在唯一极大值点。
        说明 第一问要注意求解的对象是的极大值,而不是的极大值,不要弄混淆。其次作为一个函数,其定义域为。这一点很重要,在求的导数时,由于在区间内,的导数的函数可以轻易判断单调性。结合两端的值,可以轻易求出的导数大于零和小于零的区间。另外需要注意函数的导数依旧是函数,具有函数的所有性质。
        第二问的解法 由可得的定义域为,由第一问,我们可以得到时单调递增,时单调递减。且。在时存在零点,在时存在一个零点,设为,=0。故时,单调递减;时,单调递增。且。所以在有且仅有一个零点。当时<0。故单调递减,。因此在有一个零点。当时。所以。综合上述,在仅有两个零点。
    说明 第二问主要思想是将函数零点转换成两函数交点的问题。这样零点解方程就转换成了函数的极值、单调性问题上来。
        结论
        通过2019年真题的举例研究发现该类题型主要考察的是学生对知识点的掌握,以及知识的灵活应用能力。值得注意的是,文本采用的常规解法都有一个现象。第一问和第二问之间有很大的联系。第一问的结论或者证明过程往往为第二问做铺垫。
        参考文献:
        [1] 陈炳泉,一道高考导数题的思考和探索[J],数学通报,2021,60(03).
        [2] 杜红全,导数高考考点题型归类解析,数理化解题研究,2020(07).
        [3] 冯海蓉,函数与导数高考复习专题,中学教研(数学),2019(05)。
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