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浅谈解析几何部分在高考中的重要地位

发表时间：2021/6/17 来源：《文化研究》2021年7月下作者：李庆亮

[导读] 解析几何在高中数学中占有重要地位，是高考考察的重点内容，有一定的综合性。提高解析几何复习的有效性，是一轮复习重点思考的内容。

黑龙江省实验中学黑龙江省哈尔滨市李庆亮 150001

        解析几何在高中数学中占有重要地位，是高考考察的重点内容，有一定的综合性。提高解析几何复习的有效性，是一轮复习重点思考的内容。首先教师要通过研究教材、课程标准、高考评价体系等提高自身的学科素养，从本质上把握该部分的重点和主次，有效的指导学生进行有效训练。
        一、解析几何的本质和研究的重点问题
        （一）解析几何的本质
        平面解析几何是中学数学中独具特色的一门学科。它的学科思想是用代数方法解决几何问题。解析几何课教学的根本任务就是要引导学生能深刻领会“平面解析几何”的学科思想，把握“平面解析几何”这门学科的思维逻辑。
        （二）解析几何中的研究的重点问题
        1.曲线与方程
        （1）如何求曲线方程。对于形状已知的曲线，主要用定义法或待定系数法求解方程，用待定系数法求解方程，主要分三个步骤，先定位，再定型，最后再进行定量计算。而对于形状未知的曲线，主要分直接法和间接法，直接法包括直译法、定义法；间接法，包括转移代入法、参数法、交轨法等。
        （2）利用方程研究曲线的性质。利用方程研究曲线的性质、用方程研究直线和曲线的位置关系。
        2.点与坐标
        交点坐标相关问题，包括可求出的交点坐标问题（两条直线的交点、方程中没有参数、有一个坐标已知、直线过原点）；设而不求的交点坐标问题，韦达定理判别式、坐标代入方程。
        （三）解析几何的逻辑结构图（代数和几何的结合）
        解析几何具有代数和几何双重特征，解析几何的主要研究对象有直线与方程、圆与方程、圆锥曲线，其中圆锥曲线还包括椭圆、双曲线、抛物线。解析几何研究方法，主要是对几何对象的研究，几何对象主要有几何图形、曲线方程和数值，通过几何特征对几何性质和位置关系进行研究，以及将几何问题代数化的重要方法。解析几何的主要思想方法是几何形式与代数形式、代数形式与代数结果、代数结果与几何结论的相互转化，进而得到几何对象的几何结论。解析几何的主要思维方式是研究曲线和方程，即建立动点P(x,y)运动，形成轨迹方程f(x,y)=0。
        二、解析几何部分高考试题分析
        1.解析几何部分课程标准中的学业要求
        能够掌握平面解析几何解决问题的基本过程：根据具体冋题情境的特点，建立平面直角坐标系；根据几何问题和图形的特点，用代数语言把几何问题转化成为代数问题；根据对几何问题（图形）的分析，探索解决问题的思路，运用代数方法得到结论，给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题。
        能够根据不同的情境，建立平面直线和圆的方程，建立椭圆、抛物线、双曲线的标准方程，能够运用代数的方法研究上述曲线之间的基本关系，能够运用平面解析几何的思想解决一些简单的实际问题。
        重点提升直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养。
        2.解析几何部分考纲解读
        解析几何初步中，直线与方程、圆和方程是解析几何学学习的基础内容，考纲中除了对倾斜角要求理解以外，其余部分均要求熟练掌握。而对于圆锥曲线的知识内容部分，双曲线、曲线和方程、圆锥曲线实际应用这三节，要求都是了解，高考中的考察难度也是中等偏下的题。而椭圆和抛物线要求熟练掌握，这两种曲线在高考中经常考察中等及中等偏上难度的小题，以及解答题。
        3.解析几何部分考点分布
        在近几年的高考中，解析几何部分的题型大多稳定在2个小题，1个大题，但2020年全国Ⅰ卷和Ⅲ卷文、理科三套卷都是3个小题，1个大题，之前只有2018年全国Ⅲ卷理科出现过一次。每年的同一套试卷中椭圆、双曲线和抛物线三种重要二次曲线都会出现。四道解析题的这四套卷的共同特征是除了三个重要二次曲线以外，直线和圆的位置关系出现频率有所提高。
        解析几何在高考中，整体来说难度较前些年有下降的趋势，这与新课程中减弱对圆锥曲线和曲线方程的要求是一致的，但新高考卷解析解答题压轴，看来不能疏忽对解析几何部分的全面复习。
通过对近四年高考试题中解析几何部分的分析，可以总结出解析几何在高考中的知识、思想、素养的考察分布情况如下。
        数学知识方面的高频考点为，圆锥曲线定义、离心率、双曲线渐近线相关性质、抛物线焦点弦等。
        数学思想方面的高频考点为，数形结合、转化化归、分类讨论、函数方程等。
        核心素养方面的高频考点为，直观想象、逻辑推理、数学运算等。
        4.解析几何试题位置分布
        近年来，高考数学试题命题方向，注重从能力立意到素养导向的综合考察。解析几何的考察难度、考察位置发生很大变化，总的来说可易可难，可后可前。从高考试题考察方式来说，变化的是题序、背景、情境。不变的是知识、方法、本质。
        从考察知识的角度（核心知识）——定义、标准方程、几何性质、直线与曲线的位置关系、几何证明；从考察能力的角度（关键能力）——直观想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力；从考察思想的角度（学科思想）——坐标思想数学结合和转化思想、变换与不变量思想、函数与方程待定系数思想、分类与整合思想；从学生问题的角度——基本概念不清晰、基本方法不熟练、运算能力、作图能力、推理能力等欠缺、目标意识规范意识薄弱。
        5.解析几何部分关键能力
        （1）直观想象
        直观想象能力，在新高考评价体系中指出，根据条件具体画出正确图形，想象出直观形象，正确分析图形中的基本元素及其相互关系，对图形进行分解、组合，运用图形形象揭示问题的本质。        例如，2019全国一卷10理、2019全国一卷16理
        强化作图意识，有时只要把握住图形的主要特征画出图形，有时科学规范地画出比较准确的图形，图形是研究几何问题的基础，作图的过程是读题、审题、理解题意和探究解题思路的过程。
        （2）逻辑推理
        逻辑推理能力，在新高考评价体系中指出，对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括，用演绎、归纳和类比进行推理，能准确清晰，有条理地进行表述。
        例如，2019全国一卷21文
        （3）运算求解
        运算求解能力，在新高考评价体系中指出，会根据概念、法则、公式进行正确运算、变形或数据处理，能根据问题条件，寻找与设计合理、简洁的运算途径，能根据要求对数据进行估计和近似计算。
        例题1.巧设直线方程