陈娜
重庆师范大学400021
摘要：正弦定理是解决三角形边角关系的重要定理之一。本文以正弦定理为例，通过创设情境，引导学生自主思考，经历猜想-归纳-证明的过程，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，渗透数学核心素养。
关键词：正弦定理 教学设计 教学评析
一、教学设计说明
正弦定理选自高中新课标人教版必修五第一章第一节的内容。本节课是对三角函数知识的延续和拓展，也为后续解三角形、几何计算奠定基础，起着承上启下的作用。
杜威说，教学要从学生已有的经验开始。高二学生具备了解直角三角形和平面向量的知识基础，有一定观察分析、解决问题的能力，但是对前后知识的联系、推理还有待加强。
二、教学设计实施
（一）教学目标
1.知识与技能：学生在问题情境中能发现并推证正弦定理；会初步运用正弦定理与三角形的内角和定理解斜三角形的两类问题。
2.过程与方法：学生从已有的知识出发,通过观察推导，自主探究出在任意三角形中，边与其对角正弦的比值之间的关系，培养逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：学生在合作交流过程中感受数学公式的对称美，体会数学在生活中的应用价值，激发学习兴趣。
（二）教学重点
正弦定理的内容、证明及基本应用。
（三）教学难点
正弦定理的探索和证明。
（四）教学方法
在教法上：采用以学生为主体的探究式教学法，结合几何画板直观演示，通过问题串引导学生循序渐进，归纳推理出正弦定理；
在学法上：学生自主探究与合作探究相结合，通过实验测量，经历猜想-归纳-证明，由“学会”转为“会学”，成为学习真正的主人。
（五）教学准备
制作多媒体课件和几何画板；学生准备计算器、直尺、量角器。
（六）教学过程
1.情境导入
（创设情境，吸引兴趣）
情境：在现在的高科技时代，要想知道某座山的高度，没必要亲自去量，只需水平飞行的飞机从山顶一过便可测出，你知道这是为什么吗？还有，交通警察是怎样测出正在公路上行驶的汽车的速度呢？
要想解决这些问题，就需要我们来研究三角形中的边角关系．
2.探究新知
（1）观察特例，提出猜想
问题1：回顾直角三角形的边与角，你发现什么关系？
学生容易得出：在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系．
问题2：研究直角三角形的正弦，你能建立什么等量关系？
回忆直角三角形中的边角关系，根据正弦函数的定义有：
开门见山，揭示这就是今天探究的内容：正弦定理。
（2）拓展推广，完善猜想
问题3：关系式能不能推广到任意三角形？
（1）学生分组对一般三角形进行测量计算完善猜想
（2）教师用几何画板动态演示，不管三角形的边、角如何变化，比值不变，为下一步证明树立信心。
【设计意图】
这个环节引导学生由特殊到一般进行归纳，完善猜想。学生参与实验，教师直观演示，体现了教学的直观性原则，吸引学生兴趣。
（3）证明猜想，得出定理
问题4：请问如何证明该定理？ （重难点）
【设计意图】
强调直观猜想，必须通过逻辑推理到理论证明，体现了数学的逻辑性。
（1）渗透分类思想，启发学生分别证明锐角三角形和钝角三角形是否成立。
（2）难点是通过作高将一般三角形将转为熟悉的直角三角形。
（引导学生首先分为两种情况，锐角三角形和钝角三角形，然后按照化未知为已知的思路，构造直角三角形完成证明。）
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这就是我们今天要研究的—— 正弦定理。
问题5：还有其它证明方法吗？（由学生讨论、分析）
【设计意图】
学生分组讨论，合作交流，进行“再创造”，体现了数学新课标所倡导的积极主动，勇于探索的课程理念。
证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中
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（4）运用定理，解决问题
（1）接着给出解三角形的概念：
一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形．
（2）启迪学生归纳如何运用正弦定理解三角形，形成知识的完整性：
问题6：你能否从方程的角度分析一下，解三角形需要已知三角形中的几个元素？
问题 7：我们利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢？
（1）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角。
（2）已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角。
3.例题练习
例1. 应用正弦定理解决提出的求河岸两侧两点间距离问题.
如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出两点间A、C的距离55m，∠ACB=600，∠BAC=450求A、B两点间的距离。
4.课堂小结
（学生发言，互相补充，教师总结）
（1）用三种方法证明了正弦定理：
①转化为直角三角形中的边角关系；
②利用向量的数量积．
③外接圆法
（2）理论上正弦定理可解决两类问题：
①两角和任意一边，求其它两边和一角；
②两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角．
5.布置作业
1.思考：已知两边和其中一边的对角,解三角形时,解的情况可能有几种？试从理论上说明.
2.P10.习题1.1.A组：1，2.
3.收集关于正弦定理的历史发展和应用，渗透数学文化，提高数学素养。
【设计意图】
作业分为必做题和选做题，适应不同水平学生，体现教学的巩固性和发展性原则。
6.板书设计
1.正弦定理
2.证明方法：平面几何法和向量法
3.解决问题
（1）已知两角和一边
（2）已知两边和其中一边的对角
三、教学设计反思
本节课的设计以学生发展为本，自主探究与启发诱导相结合，注重学生思维发展；由直观猜想到逻辑推理，培养学生探索精神；在教学过程中渗透分类、转化的思想方法，创设情境注重应用，营造轻松愉悦的学习氛围，从而达到预期的教学效果。
不足之处可能内容安排偏多，对高二学生来说有些难度，如果设计导学案，学生课下完成部分探究，课上交流效果应该会更好。