石河子大学信息科学与技术学院 新疆省石河子市 832000
摘要：石河子大学自1996年一直参加全国大学生数学建模竞赛，伴随参赛人数增加，培训工作也在不断增加，同时出现了多种模式，如（1）利用暑假集中培训模式，（2）分散培训模式（3）学生建模协会模式（4）公选课培训模式，（5）自学模式。本文针对满意度评价问题建立评价模型，对各个培训模式进行研究，分析系统中各个因素之间的关系，建立层次结构模型；利用MATLAB数学软件进行求解，计算最大特征根λ、权重向量W，并做一致性检验，一致性检验通过后，对权重向量进行归一化处理；计算组合权向量（组合一致性检验）做为决策定量的依据，最终得到参赛者对不同培训模式的满意度排序及最优的培训方案。
关键词：评价模型；层次分析法；数学建模培训
一、问题重述
1.1背景介绍
数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和各种各样的应用问题紧密相关的。石河子大学自1996年一直参加全国大学生数学建模竞赛，培训工作在不断增加，现有的几种培训模式：（1）暑假集中培训模式（2）分散培训模式（3）学生建模协会模式（4）公选课培训模式（5）自学模式
1.2需要解决的问题
问题一：站在参赛队角度，建立指标体系和评价模型对上述培训模式进行综合评价。
问题二：站在参赛队角度，将上述模式进行组合，建立模型并给出最优培训方案
问题三：同时站在学生和老师、学校管理角度，同时考虑成本和安全等因素，重新给出最优培训方案。
二、问题分析
针对问题一，在参赛队角度，建立指标体系和评价模型对培训模式进行综合评价。利用层次分析法，建立层次结构模型，建立指标体系，用同层各个因素对上层因素重要性进行评价，构造成对比较矩阵；求解，计算最大特征根λ、权重向量W，并做一致性检验，一致性检验通过后，对权重向量进行归一化处理；计算方案层对目标层的权重并排序做为决策定量的依据，由方案层对目标层的总排序得到参赛者对不同培训模式的满意度排序。
针对问题二，将模式进行组合，建立模型并给出最优培训方案。即在问题一的基础上，根据问题一所得结果进行培训模式的组合，并对选出的培训模式根据其权重分配时间。
针对问题三，同问题一一样，我们利用层次分析法。但因同时站在学生、校方、老师的角度，故在问题一、二的基础上给出新的准则层。建立层次结构模型，分析系统中各因素间的关系，对各因素的重要性进行两两比较，构造成对比较矩阵；计算被比较元素相应的最大特征值及权向量，并进行一致性检验；综合以上重新给出最优培训方案。
三、条件假设
3.1问题一
1.假设文中的所列指标都符合层次分析法的要求
2.假设模型中每一个分析因素都全面
3.2问题三
1.假设每个学生的学习能力都相同
五、模型的建立与求解
5.1模型基础：层次分析法
层次分析法
5.1.1模型的操作步骤
在进一步分析问题的基础上，将各个因素按照不同的属性分解成不同的层次，同一个层次的诸多因素对上一层的因素有影响，同时又有支配下层因素的作用。层次共分为三个层次：最上层为目标层，通常只有1个因素，最下层为方案层或者对象层，中间成为准则层或指标层。
5.1.2利用数据构造成对比较阵
从层次结构模型的准则层开始，对于该层的上一层的每一个因素的同一层诸多因素，用成对比较法和1至9比较尺度构造成对比较矩阵，直到最后一层。
5.1.3 计算权向量并做一致性检验
对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量即为权向量。
5.1.4 计算组合权向量并做组合一致性检验
计算最下层对目标的组合权向量，并根据公式做出组合一致性检验，若检验通过，则可按照组合权向量表示的结果进行判断。
5.2问题一
5.2.1模型一的建立
站在参赛者角度，我们考虑参赛者学习中可能关心的因素，建立指标体系（准则层）：时间受限性（C1）、学习成本（C2）和学习效果（C3），建立层次分析模型。
5.2.2模型一的求解
对于每一个成对比较矩阵，计算最大特征根λ及对应特征向量W，利用一致性检验指B标
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，随机一致性指标
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和一致性比率
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做一致性检验，特征向量归一化后为权向量，若小于CR<0.1则通过一致性检验，反之不能通过，需要重新构造成对比较矩阵。
5.2.3方案层对目标层的总排序
对于方案层中的五种培训模式，根据上表，得组合权重向量W=（0.322729536，0.271746468，0.143927018，0.136639879，0.125257099）
5.2.4结果解释
按指标权重大小对准则层因素排列依次为：1时间的受限性 2成本 3学习效果
可以看出，学生在选择培训模式时，优先考虑时间受限性，然后才会考虑学习成本与学习效果。
5.3问题二
在问题一的基础上，根据问题一得到的组合权向量，我们选择排名前二的两个模式进行组合给出最优培训方案.因为这两种培训模式综合指标所占权重较大两种模式按其所占权重大小（0.322729536，0.271746468
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0.542880687，0.457119322）按比例分配时长，分别为54.3％、45.7％。
5.4问题三
5.4.1模型三的建立
站在学生，老师，学校管理角度，我们考虑这三者可能关心的因素，建立指标体系：时间受限性（C1）、学习成本（C2）和学习效果（C3），安全（C4），教室安排（C5），建立层次分析模型。
5.4.2模型三的求解
对于每一个成对比较矩阵，计算最大特征根λ及对应特征向量W，利用一致性检验指B标
.png)
，随机一致性指标
.png)
和一致性比率
.png)
做一致性检验，特征向量归一化后为权向量，若小于CR<0.1则通过一致性检验，反之不能通过，需要重新构造成对比较矩阵。
5.4.3方案层对目标层的总排序
对于方案层中的五种培训模式，根据上表，得组合权重向量W=（0.3276，0.2751，0.1410，0.1346，0.1213）T
5.4.4结果解释
从层次总排序来看，在培训模式满意度评价体系中，各指标权重从大到小依次为：1.时间的受限性2.成本3.学习效果 4.安全5.教室安排。从数据可以看出，同时站在学生、校方、老师的角度，人们仍优先考虑时间的受限性，其次考虑成本，再考虑学习效果、安全、教室安排等因素。
由方案层对目标层的总结果作为决策的定量依据，我们选择1.暑假集中培训模式，2.分散培训模式两种模式的组合作为最优的培训方案。因为这两种培训模式综合指标所占权重较大。
六、模型的评价
6.1模型的优点
1.简洁实用的决策方法
层次分析法不追求高深的数学，也不片面的注重逻辑，推理。它把定性的方法与定量的方法结合起来，使复杂的问题，能将人们的思维过程数学化，系统化，便于人们接受且把多目标，多准则难以全部量化的问题转化为单目标问题。
6.2模型的缺点
1.不能为决策提供新方案
（1）层次分析法的作用是从已有方案中选择较优秀的方案。这个作用正好说明了我们所建立的模型只能从原有的方案中选取，而不能为决策者提供新的方案。
参考文献：
[1] 姜启源等，数学模型（第四版）[M]，北京：高等教育出版社，2011
[2] 周建兴等，MATLAB从入门到精通[M]，北京：人民邮电出版社，2008
[3] 百度百科，层次分析法