周凤凤
宁波市江北区实验中学
摘要：旋转是初中阶段几何三大变换之一，在各类初中数学几何题型中，有很多与旋转有关的计算或证明，有些题中有明显的旋转等文字，有些题中并未提及旋转等文字，后者使多数学生在解答时素手无策，没能找到合理的解题思路。本文采撷部分试题，通过归纳，帮助学生发现旋转，找到解题的思路和方法。
关键词：旋转 数学解题
一、利用旋转求线段的长度
例1 如图1-1，△ABC为等边三角形，D、E在BC边上，BD=4,CE=2,∠DAE=30°，求DE的长。
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图1-1 图1-2
解析 根据条件，可以发现∠BAD＋∠EAC＝∠DAE＝∠BAC=30°，因此可以将△ABD绕点A逆时针旋转60°到△ACD'，使分散的两个角∠BAD与∠EAC拼成一个角，使分散的两条边BD与EC集中到一个三角形中，由此构造一对全等三角形，找到BD、DE、EC三者之间的等量关系。
如图1-2，把△ABD绕点A逆时针旋转60°，得△ACD’，过点D’作DH⊥BC,交BC的延长线于点H。
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠B=∠BCA=60° ，
∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°
由旋转可知：△ACD’≌△ABD，
∴AD=AD’，∠BAD=∠CAD’，
∴∠EAC+∠CAD’=30°=∠DAE，即∠DAE=∠DA'E，
又∵AE＝AE，
∴△ADE≌△AD’E(SAS)，
∴DE=D’E
在Rt△D’CH中，∠D’CH=60°，CD’=BD=4，
∴CH＝2，D’H＝，EH=4，
∵ D’E2＝＝，
∴DE=D’E=．
归纳 当题中有两个角的顶点是同一个，且其中一个角的度数是另一个角的一半时，可以考虑通过旋转构造全等，使问题得到解决。
二、利用旋转求角的度数或比值
例2 如图2-1，点P是等边三角形ABC外的一点，PA＝6，PB＝10，PC＝8，求∠APC的度数．
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图2-1 图2-2
解析 由已知发现6,8,10是一组勾股数，可以将分散的三条线段PA、PB、PC集中到一个直角三角形中，又本题是在等边三角形的背景之下，具备旋转的特征，因此可以将△ACP绕点A顺时针旋转90°到△AP'B，连结PP'，则根据旋转的性质和已知条件，就可以得到ΔAPP′是等边三角形，ΔBPP'是直角三角形，从而使问题容易解决。
如图2-2，由于△ABC是等边三角形，因此可以将△ACP绕点A顺时针旋转90°,得到△AP'B，连结PP'．
由旋转的性质可得：△ABP'≌△ACP，
∴∠CAP=∠BAP'，AP=AP'=6，CP=BP'=8，
又∵∠PAP'＝60°，PA＝P'A,
∴△APP'是等边三角形，
∴AP=AP'=PP'=6，∠APP'=60°，
∵62+82=102，
∴P'P2+PB2=P'B2，
∴△P'PB是直角三角形，∠P'PB=90°
∴∠APC＝∠AP'B＝90°－ 60°=30°．
例3 如图3-1，已知点O是等边ΔABC内的一点，已知∠AOB：∠BOC：∠AOC = 6：5：4，求以OA、OB、OC为三边的三角形中，此三边所对的角的度数之比是多少?
图3-1 图3-2
解析 要求以OA、OB、OC为三边的三角形中，此三边所对的角的度数之比，应先将这三条分散的线段集中到一个三角形中，如图3-2，将△AOB绕A点逆时针旋转60°到达ΔAO′C的位置，由旋转的性质可知OA＝OO′，OB＝CO′，因此以OA、OB、OC为三边组成的三角形为△OO′C，下面只需要再根据已知条件求△OO′C的各内角的度数即可。
将△AOB绕A点逆时针旋转60°，得到ΔAO′C，则由旋转的性质可得：ΔAO′C≌ΔAOB。
∴O′C＝OB．
连接OO′，则ΔAOO′为等边三角形，
∴OO′＝OA，
∴△OO′C是OA、OB、OC为边组成的三角形，
∵∠AOB：∠BOC：∠AOC = 6：5：4（已知），
又∵∠AOB＋∠BOC＋∠AOC=360°，
∴ ∠AOB＝144°，∠BOC＝120°，∠AOC＝96°，
∵AOO′为等边三角形，
∴∠COO′＝96°-60°=36°，
∠CO′O＝∠CO′A-60°＝∠AOB-60°＝84°，∠OCO′=180°-36°-84°=60°，
∴∠OCO′：∠COO′：∠CO′O＝5：3：7．
归纳 当题中存在顶角固定的等腰三角形时，我们可以该三角形的顶角顶点为中心，顶角为旋转角，通过旋转图中以中心为顶点的三角形，将分散的条件集中起来，使较为复杂的问题变得简单。
三、将旋转与缩放结合构造相似，明动点轨迹
例4 如图4-1，在平面直角坐标系xoy中，A（2,0），B（-2,0），以A为圆心，2为半径作⊙A，C是⊙A上第一个动点，并以BC为边Rt△BCD，其中∠CBD＝90°，B、C、E按逆时排列，∠BEC=30°，连接DA，求线段DA的最小值．
图4-1 图4-2
解析 由题可知，点D的运动时候由于点C在⊙A上的运动而带动的，点A是一个定点，如果能弄清点D的运动轨迹，则线段AD的最小值就很容易能解决。通过观察和计算发现，在点C和点D的变化过程中，有以下两个量保持不变，即∠CBD=90°，CB：DB=1：，因此，可以连结CA，将△CAB绕点B逆时针旋转90°的同时扩大到原来的倍，得到△DEB，其中点E的坐标是（-2,4），DE＝2，由此可见，动点D的轨迹就是以E为圆心，2为半径圆，这样问题就得以解决。
取点E（-2,4），连结AE，DE，CA，BE，易证Rt△ABE∽Rt△CBD，△CAB∽△DEB，
∴,
∵AC=1，∴DE=，
∴点D的轨迹是以E（-2,4）为圆心，为半径的⊙E，
∴当点A、D、E共线时，AD取到最小值，
．
归纳 当题中出现以下特征时，可以考虑通过旋转的同时进行缩放，构造相似三角形解决问题：
1．一个定点O，一个主动点A，一个从动点B；
2．∠AOB的度数固定不变；
3．OA与OB的比值固定不变。
结束语 总之，除了以上几种题型，直接或间接运用旋转思想进行相关计算或证明的题型还有很多，比如利用旋转求线段之间的关系；利用旋转求面积等等。不仅题型多，并且运用旋转的题目也多，可以是很小的填空或选择题，也可以是很大的综合或猜想推理题。所以旋转思想在初中几何中占有非常重要的地位，我们要引导学生形成运用旋转解决图形问题的意识。