何小波
广东省深圳市龙华区实验学校 广东 深圳 518109
【摘要】：新授课、习题课和复习课是数学最重要的三种课型。新授课重知识的生成和落实，习题课重解题策略和思维能力的培养，复习课重知识梳理和网络的形成。三种课型各司其职，互相促进，缺一不可。课改极大的推动了新授课的改革，中考加强了复习课的探索，唯独习题课往往被老师所轻视，“就题论题，就题对答案”的现象比较普遍。本文以一道圆的综合题为例，从“解题定向”、“障碍突破”及“解后反思”三个方面谈对习题教学的思考。
【关键词】： 解题定向 障碍突破 解后反思
引言：学生拿到一个题目，还没有一个大致的方向就一头扎进题目，在里面花了很多时间，一无所获。这就是缺乏解题定向的表现；分析过程中思维卡壳，缺乏思维障碍突破的策略，一阵乱撞，最后不得不放弃，这就是缺乏障碍突破策略的表现；而解后反思是数学教学界普遍忽略的问题，不管是老师还是学生都很少对解完的题目进行再认识，缺乏题目当中方法的提炼和思想的升华。所有这些问题都是习题教学重视结论教学缺乏过程分析造成的，所以我认为习题教学有必要进一步关注解题过程的分析，而“解题定向”、“障碍突破”及“解后反思”就是过程教学不错的抓手。以下以一道圆的综合题为例展开我的思考。
一、解题定向
所谓解题定向，就是结合题目的条件和结论，大致确定解题的方向。虽然不是所有的题目都可以快速的确定大致的解题定向。比如一些从来没有见过的新题，需要进行不断尝试和摸索，再能大致确定解题方向。但是不能因为个例就放弃解题定向方面的教学。在初中数学的绝大多数题目里，是存在一定的解题规律可以遵循的，哪类问题用哪些方法，一旦学生掌握后，分析起问题就不会像无头的苍蝇乱撞，浪费大量的时间。
分析：这道题，很多学生都可以解决第一个小问。但是拿到第二个小问，求tan∠AED的值就有点束手无策。
小部分学生能够由已知条件得到BD=8，而后就出现思维卡壳，再往下就不会了。学生能得到BD=8，说明学生的思维上还是喜欢从已知条件入手分析问题，缺乏对待求结论的分析，就冒然解题，盲目低效、甚至无效。
所以，解题定向必须兼顾分析题目的条件和结论，很多时候研究待求结论比条件还要重要。它是整体题目核心，所以的工作都应该围绕它来运转。
教学策略：教师在讲解这道题时，可以在条件分析的基础上，引导学生思考“求锐角三角函数值”的一般方法。可以结合《波利亚解题表》中元认知问题帮助学生回忆。
比如：你做过类似的求锐角三角函数值的题目吗？你还能回忆起它的解题方法吗？
在回忆解题方法的基础上，教师可以进一步利用下面的两道小题帮助学生再次理解求锐角三角函数值的方法：
铺垫小题1：如图1，求sinC；
铺垫小题2：如图2，求OA与x轴夹角的正弦值；
（图1） （图2）
通过对这两道题目的再现，引导学生回忆起求锐角三角函数值的两种常见的间接求法：“转换角度”和“构造直角三角形”。至此，我们的解题定向工作才算完成。
二、障碍突破
解题过程伴随着两重困难，第一重困难是不知道从何入手，迷茫找不到解题方向。而第二重困难是找到了方向却在思维行径过程中出现卡壳，停滞不前。解题定向好比是我们要进入的“门”，而障碍突破就堪比开门的“钥匙”。找到了门没有钥匙，依然无法进入。在这里我介绍一种突破思维障碍的方法：条件和结论的“集中原则”。
我们可以这样来理解解题过程，就是不断缩小条件与结论之间的距离（差异）的过程。所以“集中原则”是在解题过程中我们尽可能的将题目的条件和结论进行“靠拢”，缩小解题的“包围圈”。在缩小的解题空间内，两者之间的联系就更容易找到，达到突破障碍的目的。
分析：上例中，我们已经找到了间接求解锐角三角函数值的两种方法：“转换角度”和“构造直角三角形”。但是不管是哪种解法，他们的一个共同点也是关键点是都必须放到一个直角三角形中。∠AED显然没有在一个具体的直角三角形中，所以这两种解题思路，理论上都是可行的。
由前一个问题相似，我们已经得到了∠AED=∠EBA,而∠EBA恰恰在RT△ABE中，所以要求tan∠AED，只需求tan∠EBA,也就是求AE:BE的值。分析到了这里，许多同学就会卡壳。学生存在的思维可能性为：
（1）完全缺乏集中意识：不知道如何继续分析下去。在图中不停的绕圈，得到一些与核心解题没有多大关联的结论。
（2）思维定势：总是希望分别求出AE与BE的长，再作比。但本题要求出这两个线段的长非常麻烦，学生陷入繁杂的思维与计算之中，在规定的时间内根本无法完成。聚焦问题的核心可以表述为：利用 “集中原则”寻找AE:BE与ED=4,AD=2之间的联系？
教学策略：教师可以利用“思维障碍分析图”进行分析：
思维障碍分析图1
三、解后反思
学生学习解题，往往满足于答案的得到，包括我们很多教师也是这样的思想。其实解完题目后的反思更加可贵，作为教师我们有必要让学生养成反思题目的习惯，让学生理解到反思题目不仅仅是对题目的简单重复，而是从更高、更深及其他的角度重新审视这道题目，提炼解题方法和解题经验。其中最重要的解题反思，我认为是通过解题组建：“知识体系”、“思维体系”和“方法体系”。比如本题解答完毕后，我们可以进行如下反思：
四、结论
1.尝试在前，讲评在后；没有学生的先做，教师的讲评就无法引起学生的共鸣，常常出现“教师努力讲，学生努力睡”的窘况。反之，如果学生先做，教师再批改，并且认真分析学生在答题过程中存在的困惑，以此设计课堂课堂，那么这样的课堂就能够满足学生的“心理需求”，激发求知欲，产生教师的教和学生的学的共鸣。
2.习题教学要过程和结论并重；不仅要告诉学生怎么做，更为重要的是要告诉学生为什么要这样做，并最终达到自己能分析和解决问题。前者强调结果，后者关注过程。两者缺一不可。从“解题定向”、“ 障碍突破”和“ 解后反思”三个方面的进行过程教学，是强化习题过程分析不错的抓手。
3.习题教学的一般范式；学生尝试→教师研讨（思维节点）→解题定向→障碍突破→格式梳理→解后反思→课后巩固。
【参考文献】：[1] G?波利亚.怎样解题[M]．上海；上海科技教育出版社，2002.3