1.陈启南 2.谢婷婷
2.2. 广东省梅州市教育局教学研究室 514021 2. 广东省梅州市广东梅县东山中学 514017
《普通高中数学课程标准(2017年版)》提出数学学科六大核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析，其中数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题.笔者以现实生活情境中的购房按揭贷款为例，探索数学建模在贷款等额本息还款方式问题上的应用，以供师生参考.
1.在情境中发现数学问题
现实生活的各个方面都蕴涵着数学知识，数学在生活的应用处处可见，如在商品市场上，消费者在购买商品住房时，往往向银行申请购房贷款，采取分期还款的方式来缓解资金的暂缺，目前银行主要提供等额本息还款和等额本金还款两种还款方式，不同的还款期限下，消费者还款总额相差有多少？房贷问题中包含了哪些数学知识和数学模型？
2.从数学的视角提出问题
张某于2020年初向商业银行申请贷款100万元购买住房，银行提供的贷款期限可选择20年或30年，银行五年以上贷款年利率为4.9%，每月还款一次，考虑等额本金还款方式前期需支付的本金和利息较多，于是张某选择了等额本息的还款方式.
问题1：若选择不同的贷款期限，张某每月应还贷各为多少元？
问题2：不同的贷款期限结束时，所需支付的总还款额又各是多少元？
问题3：通过建立相关的数学模型，能否得出一般性的结论？
3.运用数学思维分析问题
等额本息还款方式是指：计算贷款的本金和产生的利息总额，将总额平均分摊在还款期限的每个月中，每个月按照固定的金额进行还款的方式.构建数学模型，解决相关问题，需要理清五个要素之间的相互关系：一是贷款的本金，二是本金产生的利息，三是还款的期限，四是每月固定还款金额，五是还款的总额.
4.确定参数建立数学模型
(1)理清变量关系，确定模型参数
设银行贷款本金为万元，还款期限为个月，贷款月利率为，每月等额本息还款金额为万元，贷款需支付的总还款额为万元.
(2)利用数学方法，构建数学模型
构建数学模型思路1：从还款剩余本金的角度建立数学模型，即计算出逐月还款后所剩本金数额(所剩本金数额=上次剩余本金-当次还款金额中所占的本金部分)，还款期限结束时，贷款还清，贷款所剩本金数额为0.构建数学模型1过程如下：
第一次还款后，剩余贷款本金为；
第二次还款后，剩余贷款本金为
；
第三次还款后，剩余贷款本金为
；
……
第次还款后，剩余贷款本金为
；
当房贷还清时，剩余贷款本金，可求每月等额本息还款金额；购房需支付的总还款额为.
构建数学模型思路2：从每月还款金额的本利和角度建立数学模型，即每次还款金额及其本利和的总额等于贷款的本金及其本利和的总额(银行贷款本金为，还款期限结束时，贷款的本金及其利息的总额为，若每月等额本息还款为，那么每次还款金额及其本利和的总额等于贷款的本金及其利息的总额.)构建数学模型2过程如下：
第一次还款，至还款期限结束时，其本利和为；
第二次还款，至还款期限结束时，其本利和为；
第三次还款，至还款期限结束时，其本利和为；
……
第次还款，至还款期限结束时，其本利和为；
第次还款，其本利和为.
从而有：…，运用等比数列求和公式，化简得，购房需支付的总还款额为.
(3)检验建模思路，完善建模过程
检验建模思路1与思路2，我们发现，构建数学模型的研究角度和构建过程不同，但是得出了相同的数学模型，因此我们可以确定本次利用数学方法，构建的数学模型是正确的。研究两种不同的建模思路，对学生而言，学生较多选择的思路是第一种，即研究还款剩余本金的角度建立数学模型，这种思路与现实生活中还款实际较为契合，相比之下思路2则是另辟蹊径，逆向思维来处理每月还款金额与贷款的本金及其利息的关系，为给人以拨开云雾见月明的顿悟。
5.计算求解解决实际问题
由题意可知，银行贷款本金为100万元，银行五年以上贷款年利率为4.9%，可求得贷款月利率为，，当还款期限时，购房需支付的总还款额(万元)；每月还款金额为(万元)；当还款期限时，购房需支付的总还款额(万元)；每月还款金额为(万元).
通过构建的数学模型计算求解，若选择贷款期限为20年时，每月还款金额为6544元，需支付的总还款额为万元；若选择贷款期限为30年时，每月还款金额为5307元，需支付的总还款额为万元.通过构建数学模型，可以解决实际的生活问题，得出有信服力的结论：贷款期限短，每月还款金额多，支付的总还款额少；贷款期限长，每月还款金额少，支付的总还款额多，不同的贷款期限各有优势，互有利弊.通过构建的数学模型计算，不同的贷款期限相差的数额一目了然，张某可结合自身家庭实际，选择最适合家庭支出的贷款期限.
作者简介：陈启南，男，广东省梅州市蕉岭县人，中学数学高级教师，从事中学数学研究，先后获得梅州市优秀教师、梅州市高中骨干教师、梅州市“高考高分尖子奖”和高中数学联赛优秀辅导员等称号，主持和参与国家、省、市课题7项，撰写多篇论文发表于《人大复印报刊-高中数学教与学》、《中学数学杂志》、《中国数学教育》、《中学数学教学参考》、《中学数学研究》、《上海中学数学》等专业期刊.