王建平 刘志丹
山东省威海经济技术开发区新都中学 山东省威海市 264200
问题是数学的心脏，解题是数学教学的核心。所以从某种意义上来讲，数学活动就是解题活动。所以当老师们能熟练引导学生掌握解题策略时，学习效果更能事半功倍。我们熟悉的波利亚解题三步法：审题、分析、书写，老师们如获至宝并不断跟学生们反复运用，确实对于一些有一定知识联系基础的学生来讲在应试时有了很大的帮助。但是更多学困生是哪怕每个字都认识，也认真审题了、分析了，但也仍弄不清楚问题中到底想传递出哪些条件之间是有关联的。所以终其原因是解题策略教学和解题步骤并不能混为一谈，还是要先确保教学效果达成了，才能让更多的学生如数家珍一般通过解题步骤快速找出解题思路。良性的解题教学模式主要包含解答问题、另解问题和变换问题三个教学步骤，本文将主要通过解答问题和变换问题两个步骤来分析“将军饮马”问题，并展现一题多变，多题归一这一解题策略的根本价值。
一、实际生活中呈现待解问题，数学思维下寻求解题策略
题目：古罗马时代，亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，叫海伦，一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题。将军每天从军营A地出发，到河边饮马，然后去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？
分析：根据认知建构解题教学模式的第一个步骤“解答问题”，即教师提出问题，然后引导学生分析问题寻求解答策略，此时是问题分解的过程，这道问题的描述中没有确定较为具体的求解对象，那么首先由老师和学生共同尝试用特殊解题法也就是配以图形分析，可借助几何画板展示河流、军营A地、开会B地，并随机确定某个饮马点的位置P点，同时画出路径AP和BP，至此学生可确定这个实际问题待求的数学目标，即为AP+BP的最小值。接下来利用改变P的位置，尝试无限趋近AP+BP的最小值，学生们对P点的存在有了认识，同样教师在借助几何画板辅助时都要配上问题：如果没有几何画板的辅助，我们又该如何解决这道问题呢？再提出引导式的发问，如果将这条折线转化为直线呢？要尝试作出辅助线么？哪种辅助线能实现转化AP（或BP）并不会改变其长度呢？利用这样的问题串引导学生自己尝试在已有认知结构中寻找解决问题的关键知识点——轴对称图形和两点之间线段距离最短。对称点到对称轴上的点距离相等，可以达到转化的目的，由此求P在何处时AP+BP最小转化为了P在何处时A’P+BP和最小，再利用两点之间线段距离最短即可确定饮水点P点，即为A'B与河流的交点即为饮水点P点（A’即为A关于河流的对称点），从而将问题得以解决。
总结反思：“将军饮马”问题是初中阶段平面几何问中求最值的经典问题，主要考察的是知识点是轴对称，在教学过程中多已一般性出发，借助几何画板等多媒体工具，先给学生一个形象的认识和认知达成，再从知识点的角度进行分析教学，化“折”为“直”我觉得也是较为形象直接的记忆方式，同时在教学中我们也要渗透特殊类型辅助线的使用这一解题策略。
二、一题多变、多题归一
第三步骤的变换问题，主旨是对问题进行横向深度挖掘，变换途径分为两种：一是将原问题进行平等变换，包括条件变换、结论变换、问题变换和图形变换等方法；二是对问题进行拓展变换，譬如加强或减弱原问题的条件，对于“将军饮马”可以先进行平等变换，再迎难而上，下面对原题进行一题多变的介绍
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变式1：如图1，在直线MN上找一点P，使 得 AP+BP的长度最小，求点P的位置。
分析：如图1，直接连接A、B两点，根据两点之间线段最短或者三角形的两边之和大于第三边可知， 使得AP+BP取得最小值的点即为线段AB 与直线MN 的交点P′.这是一种图形变换，由原题的两点同侧改为两点异侧，较原题简单，可以在原题之前讲解，引导学生回忆两点之间线段最短或者三角形三边关系的知识.同时也可以总结出求线段和的最小值时应该确定初始点和终止点在直线异侧。
变式2：如图2，在直线MN上找一点P，使得|PA-PB|的值最大，求点P的位置。
分析：这个变式相对于原题来讲是一种问题平等变换，相比较于原题，解题策略相同，仍可选择先借助几何画板进行演示，较为直观的呈现出无限趋近最大值时P点的位置，尝试寻找适合的P点，即链结并延长与MN的交点即为P点，根据三角形的两边之差小于第三边即可解决。同时，完成后可以视情况向学生发文，相比较于原题除了当问题等价变换后，解题策略上涉及到的知识点有什么不同，学生可以说出，他没有考察轴对称的知识，类型和变式1更为类似。甚至学生可能说出求最大值时，两点要在同侧等结论，不必过多要求学生必须说出什么，带着这些类比结果，再继续。
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变式3：如图3，在直线MN上找一点P，使得|PA-PB|的值最大，求点P的位置。
分析：相对于原题来讲是问题和图形都进行了平等变换，不过相对于变式1和变式2都是单独的平等变换，在于对前几题的引导和思考基础上，学生新形成的认知已经可以解决变式3的平等变换，即先做A（或B）的对称点，链接AB并延长交MN于点P，继而在这题后，可以总结性的归纳求线段差最大值与求线段和最小值的相同点和不同点。
变式4：如图4，在直线MN上找一点P，使得|PA-PB|的值最小，求点P的位置。
分析：本题的变换仍是同于变式2和3，相对于原题进行了图形和问题变换，差的最小值对于学生的灵活运用起到了很好地作用，这道题相比较原题难度其实更简单了，不过差的最小值却不像前几题一样在初中数学中出现频率那么高，不过作为一系列问题的学习，是在我们可考虑范围内的一种变换。
变式5：如图5，放牧人从家（点D）出发，牵马先到草地边AB去吃草，再到河边BC去饮水，此时怎样走能保证路程最短呢？（假设草地边与河岸是笔直的）
分析：这道变式就属于拓展变换，难点在于相比较于原题增强的条件后到底和原题之间有了怎样的区别，此时应由老师发问，如不借助几何画板你是否能通过题干初步构建模型图（画出关键点，并连结一条随机路线）并确定要求的几何问题是什么？相比较于原题而言，在增强条件变换后，关键知识点是否也随之发生变化？还需要怎样的辅助线完成本道问题？这一问题串的提出，对学生的思考引导了方向，同时若有更多的正确的或者迷惑的表达，也和学生共同交流，已到达能够引发思考的目的。本道题的关键知识点轴对称没有变，但是随着终点变换为BC上一不确定的点后，D的对称点D’与BC上哪个E点相连就出现了题点，那么原题两点之间连线段距离最短就转化为直线外一点到直线垂线段最短。条件升级，考查知识点也随之升级，学生调动了更多的已有认知中的知识点，也接受了
一道题要随时变化并找出真正的题点这一解题策略。
变式6：如图6，放牧人从家（点D）出发，牵马先到草地边AB去吃草，再到河边BC去饮水，然后回家，怎样走能保证路程最短呢？（假设草地边与河岸是笔直的）
变式7：如图7，点D是马厩，点E是家，放牧人从马厩出发，牵马先到草地边AB去吃草，再到河边BC去饮水， 然后回家吃饭，吃完饭再把马牵回马厩，怎样走能使一天的路程最短呢？（假设草地边与河岸是笔直的）
分析：变式6-7都是在变式5的基础上进行的变换，一次轴对称问题转化为了两次轴对称，教师在辅助线的确定这一环节上仍需给与一定引导，相比较于原题已经发生了较多变化，但仍能清晰确定仍是“将军饮马”问题。
变式8：如图8，放牧人牵马从点A出发去河边喝水，沿着河边走了一段路，长度为MN=a，然后去往B处，怎样走路程最短呢？（假设河岸笔直）
分析：这道问题相对于原题来讲，可以说是全方位的拓展变换，似乎有点熟悉又有点陌生的感觉，根据题意确定好随机位置的初步图形后，与原题的区别清晰呈现出来，待确定的不是个点，而是一个定长线段，又引发了学生的新一轮的思考，寻找突破题点，还要再次回到原题中看看如何回归本质，教师题问本题中待确定的线段为定长线段，那么可以看出找线段的位置其实还是寻找M（或N)，向原题图形靠拢。但是A和B被隔开了，那么继续提问，还有哪些辅助线或者说是图形变化也可以达到线段等长替换的的效果呢？学生仍然会尝试从已有认知中调取平移变换的知识点，使得这AM=CN，即AM+MN+BN=CN+BN+a，此时变式图形已经回归原题中的图形结构，继而由学生再自主完成本道问题，此题仍是找准与原题的区别，再回归到原题中去是至关重要的，对学生思维的提升有很大的帮助，培养了在细微变化中找出题点的能力。
变式9：如图9，在直线OP上有一定长线段MN=a，当AM+MN+NB的值最小时，求MN的位置.
变式10：如图10，A、B两个村庄在河的两岸，如果要在河上建一座桥MN=a，那么桥建在什么位置，能使得从村庄A到村庄B的路程最短呢？（假设河流两岸是平行且笔直的，桥要与河岸垂直）
分析：变式9-10是分别从图形和条件进行的平等变换和拓展变换，其中变式10的辅助线以及合理性说明利用初三的特殊四边形中平行四边形的判定和性质加以证明AM=A'N（A'即为点A向下平移a后的对应点）也是更为合理。
小结：以上变式1-10是在原题的基础上进行了平等变换和拓展变换，极大地培养了学生的思维能力和系统学习的能力，让一些对于数学恐惧的学生能够知道会一道题是可以解决这么多相关问题的，能够很好地激发学生们的学习兴趣，题目的变换更是让学生们从细微中发现异同，从原题出发寻找区别，在最终回到原题找回相同本质，确定题点，举一反三。
三、总结反思
在解题教学中，一题多变就是要以学生为主体，从教材、教辅的典型例题为出发点，精编例题难度递进尽可能满足全体学生，让学生能够系统地对某一知识点到多个知识点的异同精准分析，找准题点。教会学生真的解题策略，形成解题思路，而不是盲目的一遍遍地刷题确缺少对解题策略的总结和运用。解一道题，就是分解变化，最终再回归本质的的过程。在知识的形成、解题探索、问题的解决过程中，通过问题解决、一题多解、一题多变达到多题归一，看清楚数学的本质就在于思考。而一题多变更是对教师业务能力的一种考验，只有教师先抓住问题本质，才能利于发展学生的创造性思维，也通过不断地思考：变换问题的合理性思考；预设和生成之间差距的思考；多个问题间是否有共通资源联系的思考。