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利用杠杆原理解决初中数学线段比例问题

发表时间：2020/11/25 来源：《中小学教育》2020年12月1期作者：王永权

[导读] 阿基米德发现的杠杆原理是：动力 × 动力臂＝阻力 × 阻力臂。如果在平面图形中将某些线段当作杠杆，给某些点施加一些力，那么这些点也符合杠杆原理，初中数学求线段比的问题，就可以转化为线段两端点的受力的比。

王永权深圳市龙岗区平湖实验学校
【摘要】阿基米德发现的杠杆原理是：动力 × 动力臂＝阻力 × 阻力臂。如果在平面图形中将某些线段当作杠杆，给某些点施加一些力，那么这些点也符合杠杆原理，初中数学求线段比的问题，就可以转化为线段两端点的受力的比。
【关键词】初中数学、线段的比、杠杆原理
中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982 （2020）12-221-01

        众所周知，物理学的发展始终离不开数学的作用，但是，物理中的不少原理和方法也能应用于数学问题，大家就不太熟悉了。杠杆原理是物理学中力学部分的一个基本原理，它可以用来解决初中数学几何部分的一些线段比例的问题，本文将从这一角度谈谈利用杠杆原理解决三角形中线段比例的问题。
        一、杠杆原理
        杠杆原理：如图1，动力 × 动力臂＝阻力 × 阻力臂
        即
        可得以下结论：1、一条线段上的两条线段之比等于这条线段的两个端点的受力之反比。即；2、支点之力等于两端点
        之力之和。即
        图1                     图2
        二、原理的应用
        1、证明三角形的重心把中线分成2:1两部分。
        如图2，如果三个重量均为1的质点A、B、C构成△ABC，求它们的物理重心，可以分成两步，（1）先求出B、C的重心，即BC的中点D，则可以用重量为2的质点放在D点取代放在B、C的质点。（2）再求A、D的重心，由于D处的重量是A处重量的2倍，所以物理重心G在A、D的重心，由于D处的重量是A处重量的2倍，所以物理重心G在AD上，并且分AD为2:1，即AG=2GD。也可以先求A、B的重心F，再求C、F的重心，或先求A、C的重心E，再求B、E的重心。

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        2、用定理快速解决中考题
        例1、如图3，AD是△ABC的中线，点E在AD上，AD=4DE，连接BE并延长，交AC于点F,求 AF:FC
        解析：因为D为BC中点，所以在B、C点各放一个重量为1的质点,则D处质点的重量为2。因为AD=4DE,所以在A点放一个重量为2/3的质点。故AF:FC =1:=3:2。
        例2、如图4，已知△ABC中，AE:EB=1:3,BD:DC=2:1,AD与CE相交于点F，求的值。
        图3                      图4
        解析：因为AE:EB=1:3，所以在A、B点分别放一个重量为3和1的质点,则E质点的重量为4。因为BD:DC=2:1,所以在C点放一个重量为2的质点，则D处质点的重量为3。故AF:FD =3:3=1，EC:FC =2:4=1/2.所以。
        利用原理解题的优势
        例3、如图5，△ABC中，D在AC边上，AD:DC=1:2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，求BE:EC
        利用原理解析：因为AD:DC=1:2，所以在A、C点分别放一个重量为2和1的质点,则D质点的重量为3。因为O是BD的中点,所以在B点放一个重量为3的质点，故BE:EC=1:3。
        图5                         图6
        普通解法解析：
        本题给出了利用杠杆原理解法和普通解法，通过对比，我们可以明显感受到利用原理的方法的优势，不但简单快速，而且直接有效，如果掌握此种方法，在中考中，便可帮我们大大提高解题效率，做到事半功倍。
        大多数时候是应用数学知识解决物理问题，而利用杠杆原理解决线段比例的问题恰好相反，是利用物理原理解决数学问题。杠杆能省力在这里得到了充分的体现。利用杠杆原理解决线段比的问题，一方面说明数学与物理有千丝万缕的关系，另一方面开拓了视野。
参考文献：
[1]蓝向梅.四点六线[J].中小学数学，2013年1——2月中旬（初中）
[2]梁士亮.老师，被学生的数学题难住后[J]初中数学：初中版，2012年第1——2期
[3]卢建川.从杠杆原理看线段比例问题[J].数理天地高中版2006第5期
[4]中华人民共和国教育部.义务教育教科书.物理（2013 年版）[M]．人民教育出版社，2013.