一元二次方程解法研究

发表时间:2019/12/19   来源:《教育学文摘》2020年2月总第328期   作者:王艳1 高勇2 李佳润3 李鹏4 马旭5
[导读] 一元二次方程是初中数学教学的重点、难点,也是中考的热点,很多学生理解肤浅,导致考试丢分。
(1、2、4、5.银川西夏育才培训学校 宁夏 银川 750021;3.济南钢城实验学校初二 山东 济南 271104)
  摘 要:一元二次方程是初中数学教学的重点、难点,也是中考的热点,很多学生理解肤浅,导致考试丢分。本文讲解了首创的一例一题四解,介绍了一元二次方程的概念及教学大纲要求的基本解法和一元二次方程的二次项系数四倍配方新解法。
  关键词:一元二次方程 解法研究 二次项系数四倍配方新解法
  一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a、b、c为常数),在中学阶段我们学了四种解法,分别是直接开方法、配方法、公式法和因式分解法。本文将给读者讲解一题四解及介绍一种二次项系数四倍配方新解法。
  一、直接开方法
  如果方程能化成x2=p的形式,根据平方根的定义,可得x=± p;当p<0,方程没有实数根。
  例如:(x-n)2=m(m≥0),开方得x-n=± m,即x=n± m。
  二、配方法
  把一元二次方程通过配方化成(x+m)2=n(n≥0)的形式,再用直接开方法求解,这种方法叫做配方法。其步骤为:①将二次项系数化为1;②移项,将方程的二次项与一次项移到等号左边,常数项移到等号右边;③配方,方程两边同时加上一次项系数一半的平方,化原方程为(x+m)2=n的形式;④开方,如果n≥0,就可以用开方来求解;如果n<0,方程无实数解:
  ax2+bx+c=0(a≠0)
  x2+ x+ =0
  x2+ x+(  a)2=
  (x+  )2=
  判别式△=b2-4ac。当△<0,原方程无实数根;当△=0,原方程有两个相等的实数根;当△>0,原方程有两个不相等的实数根,x=       。
  三、公式法
  若一元二次方程为ax2+bx+c=0(a≠0),则其根为x=       其中b2-4ac≥0。
  四、因式分解法
  如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的左边可以分解为两个因式的积,右边为0的形式,那么根据两个因式的积等于0,这两个因式中至少有一个为零,原方程可化为两个一元一次方程来解,这种方法叫做因式分解法。
  首创一元二次方程的解法:
  下面把首创的一题分别以四种方法解开,一个方程寓于四种常规解法,观察数学奇妙的一题多解,我们初中学生要领会其中的奥妙和真谛。
  解一元二次方程:9(2x+1)2=4(5x-3)2。


  解法一:直接开方
  3|2x+1|=2|5x-3|
  化简得3(2x+1)=2(5x-3)
  解得x1= 
  或者3(2x+1)=-2(5x-3)
  解得x2=
  解法二:配方法
  9(4x2+4x+1)=4(25x2-30x+9)
  化简可得64x2-156x+27=0
  即x2- x=- ,(x- )2=  -
  得x1= ,x2= 。
  解法三:公式法
  64x2-156x+27=0
  因为a=64,b=-156,c=27
  所以x=       =
  化简得x1= ,x2= 。
  解法四:因式分解法
  9(2x+1)2-4(5x-3)2=0,[3(2x+1)]2-[2(5x-3)]2=0
  即(6x+3+10x-6)(6x+3-10x+6)=0
  解得x1= ,x2= 。
  殊途同归,非常奇妙。
  二次项系数四倍配方新解法ax2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c为常数)
  两边同时乘以4a, 得到4a2x2+4abx+4ac=0
  然后将常数项移到等式右边4a2 x2+4abx=-4ac
  等式两边同时加b2, 4a2 x2+4abx+b2=b2-4ac
  即(2ax+b)2=b2-4ac
  若b2-4ac<0,则方程无实数根;若b2-4ac=0,则方程有两个相等实数根;若b2-4ac>0,则方程有两个不相等实数根;x=       。
  该法保持右边是△=b2-4ac,易于得知方程根的情况。左边配方与二次函数对称轴解析式密切相关。不妨把该法命名为二次项系数四倍配方新解法。
  例:x2+12x-15=0
  解:a=1,b=12,c=-15。
  第一步:给等式两边同时乘以4a,得到4x2+48x-60=0。
  第二步:将常数项移到等式右边,在等式两边同时加上b2,得到4x2+48x+144=204。
  第三步:将左边写成完全平方的形式,即(2x+12)2=204。
  第四步:化简可得x=-6± 51,x1=-6+ 51,x2=-6- 51。
  一元二次方程这个初中数学教学的重点、难点,也是中考的热点。本文讲解了中学阶段四种解法,包括开方法、配方法、公式法和因式分解法,也介绍了首创的一例一题四解,介绍了一元二次方程的二次项系数四倍配方新解法。
  参考文献
  [1]马复 主编 九年级上册数学.北京师范大学出版社,2014年,7月,第1版。
  [2]罗增儒 著 数学的领悟.河南科学技术出版社,1997年,1月,第一版。
  
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