浅谈函数教学中的数形结合

发表时间:2019/12/18   来源:《教育学文摘》2020年2月总第328期   作者:谢惠龙
[导读] 所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想,实现数形结合。
福建省龙海市凫溪中学 363100
  函数,在初中数学教科书中的定义是:在某个变化过程中有两个变量对于任意的一个x,y都有唯一确定的值与之对应,我们就称x为自变量,y称为因变量,y叫做x的函数。
  函数的学习,一直以来,都是学生感到比较困难的,教学中如果能充分运用数形结合思想来解决,就会得到事半功倍的效果。
  数形结合是数学解题中常用的思想方法,数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质;另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便会迎刃而解,且解法简捷。
  所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想,实现数形结合。
  初中数学教学中,函数所涉及的内容主要有一次函数、反比例函数、次函数等。
  为了能有效解决函数问题,必须明确函数中有关系数所表示的意义次函数y=kx+b(k、b是常数,k≠0)的图象是过点(0,b)且与直线y=kx平行的一条直线。系数k表示直线倾斜程度:当k>0时,直线如“撇”状必过一、三象限,是増函数;k<0时,直线如“捺”状,必过二、四象限,是减函数;系数b确定图象与y轴的交点位置,当b>0时,直线与y轴交于正半轴;当b<0时,直线与y轴交于负半轴;当b=0时,直线过原点,此时就是正比例函数;系数k与b共同“协作”,确定直线经过哪几个象限。
  反比例函数y= 中,系数k确定图象的两个分支的位置:当k>0时在一、三象限,在每个象限中,是减函数;当k<0时,在二、四象限,在每个象限中,是增函数;由于y≠0,反比例函数图象与坐标轴没有交点;根据系数k=xy,还可得出:在反比例函数图象上任意一点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数、过反比例函数图象上任意一点分别作两坐标轴的垂线段,它们与两坐标轴围成的矩形的面积也正好等于反比例函数的比例系数的绝对值。
  二次函数y=ax2+bx+c(a≠の)的图象是过点(0,c)、对称轴平行于y轴的抛物线,其中|a|确定开口方向,会确定开口大小;a与b共同确定对称轴x=- ,“左同右异”,特别是当b=0时,对称轴就是y轴;c确定抛物2a线与y轴的交点位置,当e>0时,抛物线与y轴交于正半轴;当c<0时抛物线与y轴交于负半轴;当e=0时,抛物线过原点:a、b、c“三军联合”,还可解决抛物线与x轴交点的情况、顶点位置、函数的增减性等问题。
  下面用几个例子来简要说明函数教学中数形结合的应用
  例1:小明根据邻居家的故事写了一首小诗:“儿子学成今日返,老父早早到车站,儿子到后细端详,父子高兴把家还。”如果用纵轴y表示父亲与儿子行进中离家的距离,用横轴x表示父亲离家的时间,那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是( )。
  
  
  A.b2-4ac>0  B.abc>0
  C.a+b+c=0  D.a-b+c30
  分析:抛物线与x轴有两个交点,∴△>0,选项A是成立的;图象过点(1,0),选项C成立;当x=-1时,显然y<0,选项D成立;抛物线开口向下,a<0;对称轴在y轴右侧,根据“左同右异”,b>0;与y轴交于正半轴,c>0,由此abc<0,故选项B是不成立的,也就是我们所要选的;这是考查二次函数各系数所起作用的问题,如果学生能明确有关的知识点,不难顺利得出答案。
  “数”和“形”是数学研究中既有区别又有联系的两个对象。在函数教学中,突出数形结合的思想,有利于学生从不同的侧面加深对问题的认识和理解,提供解决问题的方法,也有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。
  
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