让数学质疑更有“味道”

发表时间:2019/12/13   来源:《教育学》2020年2月总第203期   作者:李高勇
[导读] 新形势下的初中数学课堂更需要“积累”、“积淀”、“提炼”与“生长”,教学第一线的数学老师,是践行者,是参与者,是受益者,永远前行在数学成长的路上。

湖北省咸丰县民族实验学校 445600
        新形势下的初中数学课堂更需要“积累”、“积淀”、“提炼”与“生长”,教学第一线的数学老师,是践行者,是参与者,是受益者,永远前行在数学成长的路上。
        数学成长源于对数学本质的精细追求,三角形全等的判定是初中数学一个重要知识点,全等知识点的认识、理解、拓展与呈现方式有一定的正关联,与教师对教材的深度对话正关联,与教师对教材编排意图的“悟”正关联。普通的三角形全等的判定通常有“边边边”、“边角边”、“角边角”、“角角边”,直角三角形全等的判定通常有“边角边”、“角边角”、“角角边”、“斜边、直角边”。这些判定方法经历反复训练学生便可以形成一定的解题能力,基本上可以运用自如。但是在经历数学实践解决数学问题时综合考虑使用两边加一要素判定三角形全等时,学生的应变能力因此大打折扣,学生“悟”的深度与广度与教师的指导和帮扶息息正关联,表面看是近乎完美的证明过程,其实代表着一定的认知范围内的片面的认知,需要老师适时加以正确引导,让学生领略真知,形成能力。“边边角”具备局限性,不能推而广之。
        事例一:学生甲通过以下证明试图想颠覆数学史上对“边边角”的“不公正对待”,认为”边边角”同样可以作为三角形全等的判定定理。已知:在△ABC和△EFG中,AB=EF,BC=FG, ∠A=∠E,求证:△ABC≌△EFG。
        证明:分别过点B和点F作AC边,EG边的垂线交AC、EG于点D、H。
        因为BD⊥AC,FH⊥EG,所以∠BDA=∠FHE=90°。
        在Rt△ABD和Rt△EFH中:∠BDA=∠FHE=90°,∠A=∠E,AB=EF。所以△ABD≌△EFH,所以BD=FH,AD=EH。
        在Rt△BDC和Rt△FHG中:BD=FH,BC=FG,所以Rt△BDC≌Rt△FHG,所以DC=HG。因为AD=EH,DC=HG,所以AC=EG。
        在△ABC和△EFG中:AB=EF,∠A=∠E,AC=EG,所以△ABC≌△EFG。
        因此可以说,两边及一边的对角分别相等的两个三角形全等(边边角)。这里的证明过程没有瑕疵,从这一“点”来看,似乎真的颠覆了数学史上一直被否决的“边边角”判定方法。
        事例二:学生乙通过以下证明试图进一步论证“边边角”的合理性、普遍性。已知:在△ABC和△EFG中,AB=EF,BC=FG, ∠A=∠E,求证:△ABC≌△EFG
        证明:分别过点B和点F作AC边,EG边的垂线,交AC,EG延长线于点D、点H。



        因为BD⊥AC,FH⊥EG,所以∠BDA=∠FHE=90°。因为∠A=∠E,所以∠BAD=∠FEH。
        在△BDA和△FHE中:∠BDA=∠FHE=90°,∠BAD=∠FEH,AB=EF,所以△BDA≌△FHE,所以BD=FH。
        在Rt△BDC和Rt△FHG中:BD=FH,BC=FG,所以Rt△BDC≌Rt△FHG,所以△ABC≌△EFG。
        因此可以说,两边及一边的对角分别相等的两个三角形全等(边边角)。此例有别于学生甲的猜想,条件虽然一样,但是其中一边的对角是钝角,经验证,证明过程完美而且正确,如果说事例一具备片面性,那么通过事例二的再次论证我们似乎真的感受到了“边边角”的客观存在并且是合理的。
        数学上的定理具备普遍性,可以推而广之。因此我们老师应该着眼全局,站在“由点到面”的系统层面上清醒地认知并精准定位“边边角”的片面性。倍加呵护学生的参与积极性,特别是数学探究精神和对数学的热爱、执着与激情,充分肯定学生在探索数学真知路上的付出,分享与交流学生尝试到的数学的“味道”,对数学“权威”有挑战的想法也便再正常不过了。教师的正面积极的引导学生畅游于数学之旅,他们的数学学习积极性将呈现2的n次方递增。同时,积极引导学生不断地拓展思维视野,广泛而充分地论证所见所闻的合理性,回归理性的数学思考,回归对数学本质的追根溯源。
        事例一事例二表面看似完美的证明过程,其实代表着片面的认知,此时老师可以用数学教学中常用的举反例让学生感知真知的准确性和普遍性,从内心深处真正认可“边边角”的局限性。反例如下,在△ABC中,AB=AC,∠B=∠C,点D是BC边任意一点,此时△ABD和△ACD完全具备两边及一边的对角分别相等,但是他们并不全等。因此“边边角”具备局限性,不能推而广之。
        但是直角三角形的“HL”定理,虽涉及两边及一边的对角分别相等(斜边和一直角边分别对应相等的两个直角三角形全等)的两个三角形全等,属于“边边角”特例,不具备一般性和普遍性,因此“边边角”具备局限性,不能推而广之,不能作为三角形全等的判定定理。
        特定条件下“如果两个三角形均为直角三角形、锐角三角形、钝角三角形,又符合有在两个三角形中,两条边和其中一边的对角分别对应相等的情况”,那么这两个三角形全等。综上所述,三角形全等的判定定理这个家族中,不能嵌入“边边角”,虽然“边边角”在特定的条件下是客观存在的,但是不具备一般性。反观,三角形全等的所有判定定理,均具备一般性,可以适合所有的数学环境,能为解决数学问题服务,能为学生数学发展服务。“边边角”在特定的条件下能说明问题,因其局限性的影响,只能处于三角形判定定理中的“编外”身份客观存在。
        学生的数学学习方法需要老师引导、指导,数学学习兴趣需要老师培植、倍加呵护。愿我们的学生因数学思考而学习得更有味道,因数学方法而学习得更简单、更有趣。让学生学有价值的数学指日可待。
       

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