高等数学微积分理念的多领域应用分析

发表时间:2019/9/27   来源:《知识-力量》2019年10月43期   作者:崔石买
[导读] 高等数学微积分理念在概率统计、数学建模、应用数学等多领域有着广泛的运用,本文就通过集合、函数、极值和向量代数,阐述一下高等数学微积分理念的多领域运用。
(云南能源职业技术学院,云南 曲靖 655001)
摘要:高等数学微积分理念在概率统计、数学建模、应用数学等多领域有着广泛的运用,本文就通过集合、函数、极值和向量代数,阐述一下高等数学微积分理念的多领域运用。
关键词:高等数学;微积分理念;应用

 
             一、微积分在概率统计方面的运用
             (1)集合
             微积分在概率统计中最简单的一个运用,在勒贝格积分建立测度论以及集合论之后,概率论及已经形成了初步的雏形。从本质上讲,概率论的研究对象主要还是随机实验,只是实验,其结果就是都不会是绝对的,而把实验的所有结果容纳在一起,就是一个集合。而在这个过程中,每一个发生的随机事件都是集合中的一个子集。利用集合之间的关系,来机型运算和处理问题,也就成了一种最基本的运用。
             (2)函数
             微积分中的函数在概率学中是无多不在的,无不体现着函数的思想。不管是概率还是随机的变量,不管是分布函数还是密布函数,都是属于微积分的函数,也正是因为这些对应的关系,使得在概率学的研究中更加的顺畅。所以,微积分在概率学的研究中有着很大的作用。我们简单的通过大数定律阐述一下。大数定律是一种极限定律,主要是描述在是试验次数无数次后所表现出来的一个概率性的规律。值得注意的是,大数定律并不是一种规律性的定律,它中间也包含了很多附加的条件,来证明其中的定律。在大数定律的验证中,可以通过以下的验证进行:
             在应用数学中,求函数f(x)在区间[0,1]中的定积分,那么函数X的数值必然在0和1之间,这种情况下,可以将所得的积分的数值当做一个概率值。在实验的过程中,变量XY必须要在0和1之间,可以求出边际分布的分布情况,此时函数f(x)的积分值和变量y的取值范围不会超过函数f(x)的概率是相同的,这个概率值也是可以估算的,在大数定律的理论上实验的总数越大,频率会随着概率收敛到概率,只需将函数的积分变换即可得出第一类积分。但是在试验中,从来不是一成不变的,可以通过x的区间范围,将函数的积分值当做一个数学期望,让辛钦大数定律通过估算期望值来得到函数的近似值,最后再利用变量转换的出第一类积分。
             以积分Ⅰ为例,可通过以下命令,求得近似值
             A=NULL; n=10 000;
             for(i in1:200){x=runif(n,0,1); y=runif(n,0,1);
             F=(y < =sinx×cosx×exp(-(x^2)/2));
             F=as.numeric(F);
             A[i]=mean(F)}; mean(A)
             这个程序运行之后,得到积分Ⅰ约等于0.288 118 5。该实验也可以使用以下程序
             A=NULL; n=10 000;
             for(i in1:200){x=runif(1,0,1);A[i]=sinx×cosx×exp(-(x^2)/2)}
             mean(A)
             上述程序运行一次之后可以得到积分Ⅰ约等于0.280 482 3,两种模拟给出的近似值接近,因此可以推断积分Ⅰ的值介于0.28到0.29之间。
             二、微积分在应用数学方面的运用
             微积分是研究辩护规律的一种学科,是针对社会上出现的问题的一种规律显示。应用数学顾名思义就是应用性比较强的数学理论和方法。虽然说任何学科都会存在着抽象性,但还应用数学抽象度更高,以至于只留下同量之间的逻辑关系,这种抽象将思想形式化。由于应用数学对于结论的要求是非常准确的,因此在逻辑演绎方面就需要无可挑剔。事实上,应用数学这两个特点都有微积分在内部的身影,能够很好的帮助应用数学推理、计算。因此,微积分在应用数学中有着重要的作用,是应用数学能够进行实质化应用的重要因素。
             三、微积分在数学建模中的运用
             微积分在数学建模中主要体现在极值与向量代数两个方面,针对极值做一些简单的分析:
             极值在学习导数的过程中一个重要的存在,简单极值的计算是:
             假设y=ƒ(x)在x0处有导数的存在,并且ƒ´(x)=0,那么在这种情况下x=x0被称为y=ƒ(x)的一个驻点。
             又假如ƒ"(x0)存在,并且ƒ´(x)=0,而ƒ"´(x)≠0,那么就会出现以下的结果:
             如果ƒ"(x0)<0的情况下,ƒ(x0)是此函数的极大值
             如果ƒ"(x0)>0的情况下,ƒ(x0)是此函数的极小值
             当然,在实际的生活中和应用中,这种最简单的极值问题是不会出现的,而且会存在某些限定的条件,在这种情况下,就可以通过Lagrange算法来进行条件极值的计算和求取,比如说以下最基本的一个条件求值:
             问题:求函数z=ƒ(x,y)在条件φ(x,y)=0的情况下的极值问题
             解:
             第一步需要构建辅助函数,函数L(x,y,z)=ƒ(x,y)+λφ(x,y),在这个函数中Lagrange函数是L(x,y,z),算子是
 
             从从方程式中求出x0,y0,λ0的数值,此时求得的(x0,y0)在上述问题中z=ƒ(x,y)在条件φ(x,y)=0下有的极值点。然后通过实际的情况和实际的条件,判定是极小值还是极大值。
             我们通过简单的磁盘存储量问题建立一个数学模型:
             计算机都是讲数据存储在磁盘中,磁盘是我们常见的一个物品,是带有磁性的圆盘,能够在计算机上或者是媒体上,进行数据的播放,它的操作系统封能够将其分割成扇区和磁道。扇区顾名思义就是被圆心角分割而成的区域,而磁道则是由不同的同心圆轨道构建成的。磁道中的段,将它和格式化与数据存储间定义为0和1。在这个里面,基本单元我们称之为比特,在保证磁盘分辨率的情况下,磁盘的宽度必须要大于Pt,而每一尼特所拥有的磁道长度也不能小于pb,同时,为了保证在搜索便利的情况,在磁盘进行格式化的过程中磁道的比特数值要相同,而现在,假定有一种半径为R的磁盘,它的最大存储和最小存储区间为r和R之间,请求出磁盘的最大存储值。
             这是一个微积分在极值中的一个简单应用,因此在求解的时候直接进行公式的代入,及你选哪个数学模型的建立即可。
             磁盘存储量=磁道数×每一个磁道的比特数
             由于存储的半径在r和R之间,那么在条件的范围内,磁道最多是R-r/pt,而由于比特数值固定那么在保证最大存储量的要求时,就必须出于存满的状态,则每一个磁道的比特数为2πr/pb ,所以总量为:
             B(r)=R-r/pt×πr/pb
        =2πr/ptpb(R-r)
             然后进行极值的计算:B´(r)=2π/ptpb(R-2r)
                                 B"(r)=2π/ptpb(-2)
             如果B´(r)=0,驻点为r=R/2,则B´(r)小于0,在r=R/2处,B(r)可以取得最大值,责最大容量为Bmax=2πR2/4ptpb。
             结束语:
             随着社会的不断进步,人们对数学的理解也越来越深入,对数学的应用也越来越广泛,数学也已经逐渐成为社会发展的重要一环。而微积分作为高等数学中重要的一个分支,必然会随着发展和应用,在不同领域得到更多的运用。
参考文献
[1]闫小飞.学微积分理念的多领域应用分析[J].数学学习与研究,2019(01).
 
 
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