双曲线及其标准方程(第一课时)

发表时间:2019/5/8   来源:《基础教育课程》2019年4月07期   作者:于沈亮
[导读] 学生已经学习了椭圆的定义、方程和几何性质,对坐标法已有了初步的认识,这些为学习双曲线奠定了基础

        于沈亮(山东省烟台市招远市第九中学  山东  烟台  265406)
        中图分类号:G635.6   文献标识码:A   文章编号:ISSN1672-6715 (2019)04-094-03
        教材分析
        教材前后联系,地位与作用:
        学生已经学习了椭圆的定义、方程和几何性质,对坐标法已有了初步的认识,这些为学习双曲线奠定了基础,同时,对双曲线的定义、方程的学习能让学生进一步深化对坐标法的认识,也为下一节用代数方法研究双曲线的几何性质做好铺垫。双曲线在生产和科学技术中有广泛的应用,体现了数学与生产和科学技术的紧密联系,这就要求我们在教学中注意理论联系实际,培养学生应用数学的能力,学以致用。
 教学目标:
        知识目标
        理解双曲线概念,掌握双曲线定义,会用双曲线的定义解决问题;
        了解双曲线标准方程的推导过程,会用待定系数法求双曲线的标准方程。
        素养目标
        在双曲线定义及标准方程的挖掘和探究过程中,渗透和培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算等数学素养。
        教学重难点:
        重点:理解和掌握双曲线的定义、标准方程、几何图形及能利用双曲线的定义和待定系数法求双曲线的标准方程。
        难点:双曲线标准方程的推导。
        学生学情分析
        讲课的班级是化生地班,学生属于中低档层次,抽象理解能力稍弱.学生已有认知基础:学生已经学习了椭圆的概念及其标准方程,初步体验了数形结合的基本思想。虽然“双曲线及其标准方程”与“椭圆及其标准方程”、“抛物线及其标准方程”是圆锥曲线的三种曲线方程,双曲线及其标准方程的概念与椭圆及其标准方程相类似,教材处理也相仿,在知识体系中两者表现为平行关系,但双曲线却是所有圆锥曲线中学习难度最大的一种.在概括双曲线的定义时,需要教师作适当的启发,然后再用数学语言进行精确的描述。推导双曲线方程时如何化简方程使其最简,学生已有知识与能力不能完全胜任独立解决的要求,需要教师做适当的讲解。
教法与学法
        教法:
        本节课主要采用启发引导法。在整个教学过程中,引导学生观察,分析,归纳,使学生思维紧紧围绕“问题”层层展开,培养学生学习的兴趣,也充分体现了以教师为主导,学生为主体的教学理念。同时,采用多媒体辅助教学,借助多媒体快捷,形象,生动的辅助作用,突出知识的形成过程,符合学生的认识规律,也可以增加趣味。
        学法:
        本节课从引入课题开始,尽可能让学生参与知识的产生及形成过程,充分发挥学生的主体作用,使学生全方位地参与问题结论的得出,教师只起到点拨作用。这样做增加了学生的参与机会,提高了参与意识,教给了学生获取知识的途径,思考问题的方法,使学生真正成了教学的主体。
        一、复习引入
1、椭圆的定义:
平面内与两个定点F1、F2的距离的——————    等于常数(—————— )的点的轨迹叫做椭圆。
2、椭圆的标准方程:
焦点在x轴上的椭圆:——————————————————   ;焦点在y轴上的椭圆:
————————————————————————
3、待定系数法求椭圆标准方程的步骤:
(1)确定焦点的位置;
(2)设出椭圆的标准方程;
(3)确定a、b的值,写出椭圆的标准方程.
设计意图:通过复习前面学习的有关知识,唤起学生的记忆,为本节课学习做好铺垫。
        二、实例展示
 
        设计意图:联系见过的实例和以前学过的反比例函数图象对双曲线进行初步的直观感知。



        三、数学实验
        (一)实际操作
        1、取一条拉链,拉开它的一部分;
        2、在拉开的两边上各选择一点,分别固定在点F1、F2(如图A);
        3、把笔尖(M)放在拉锁处,将拉链先闭拢再往下拉开在图纸上慢慢移动,笔尖经过的点就画出一条曲线;
 
 
        4、将拉链两点位置交换,(如图B)重复第三步看看能画出什么图形
        设计意图:以活动为载体,让学生在“做中学”数学,经历知识的形成过程,积累感性经验。
演示实验:
        1. 演示学生制作的双曲线
        2.视频演示用“定义生(拉链)成法”绘制双曲线的过程
        设计意图:使学生进一步理解掌握双曲线的定义。
        四、数学观察
        1、在画双曲线的过程中,拉链两端的位置是固定的还是运动的?
        2、在画双曲线的过程中,拉链两边的长度的差变了没有?
        3、在画双曲线的过程中,拉链两边长度差与两定点距离大小有怎样的关系?
 
        设计思路:使学生比较全面地掌握双曲线的定义 ,渗透和培养学生数学建模素养。
        五、归纳新知
        同位交流:类比椭圆你能否精确给出双曲线定义?
        1、双曲线的定义:
 
        六、探究新知
        2a与|F1F2|之间还有什么关系,类比椭圆你是否知道相应的是何种图形呢?借助开始的实验过程进行小组交流讨论。
 
        设计意图:给学生提供自主探索学习的机会,让他们通过实验(拉链实验与展示)观察、讨论得出结论,化抽象为直观形象,这样既获得了知识,有培养了学生抽象思维的数学素养。
        七、推理建模
        2. 双曲线标准方程的推导:
 

 
        设计意图:经过推导双曲线标准方程,掌握推导方法,培养数学建模素养。
 
        两种标准方程的比较:
 
        设计意图:通过两种方程进行对比反思,让学生利用对称性猜想,培养学生类比思维能力,使学生加深对双曲线标准方程的理解,有助于教学目标的实现。
双曲线与椭圆之间的区别与联系:
 
        设计意图:通过两种两种曲线的对比反思,能让学生体会和学习类比的数学素养。不仅使学生加深对双曲线定义标准方程的理解,而且化困难为简单,有助于教学目标的实现。
        八、巩固新知
        1. 已知双曲线方程求量
        判断下列方程是否表示双曲线?若是,求出a,b,c及焦点坐标。
 
        设计意图:评价学生对双曲线两种形式的标准方程的理解程度。
能力提升
 是否表示双曲线?如果是,指出焦点位置。
练一练:
 表示双曲线,求 m 的范围。
题后反思:
先把非标准方程化成标准方程,再判断焦点所在的坐标轴。
设计意图:由易到难,通过归纳反思,达到知识理解,提升能力,与高考接轨。
2、求双曲线方程
已知双曲线的焦点 F1(-5,0), F2(5,0),双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于8,求双曲线的标准方程。
变式训练:
若|PF1|-|PF2|=8呢?
若||PF1|-|PF2||=10呢?
若||PF1|-|PF2||=12呢?
题后反思:
求标准方程要做到先定型,后定量。
        设计意图:数学概念是要在运用中得以巩固的,通过该课堂练习时学生进一步理解双曲线的定义,使知识内化为素养。
        九、课堂小结
 
        设计意图:由师生共同完成,引导学生积极发言,从而达到深化知识理解,构建知识网络,领悟思想方法目的。
        十、随堂检测
        1、求适合下列条件的双曲线的标准方程。
        ①焦点在轴 y上,a=4,b=3;
        ②双曲线,经过点
        设计意图:分层检测,提高学生的学习积极性,使各层次的学生都找到各自的发展空间,进一步促进教学目标的实现。
        十一、布置作业
        已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
        设计意图:理论与实践相结合,数学来源于生活,存在于生活,应用于生活。使学生真正体验到数学不是枯燥无味的,不是高深莫测的,数学就在我们身边,是实实在在的,从而感受到学习数学的趣味和应用价值,让数学于生活构成一个有机整体,从而进一步提升学生的数学建模的数学素养。

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