函数对称性在高考解题中的应用

发表时间:2018/12/7   来源:《中小学教育》2019年2月06期   作者:曾明辉
[导读] 函数的性质是高考的重点与热点,函数的对称性在近年的高考中屡见不鲜,对于解决其它问题也有帮助,同时也是数学美的很好体现。通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数对称性有关的性质。
曾明辉    兴义市第三中学    562400
【摘要】函数的性质是高考的重点与热点,函数的对称性在近年的高考中屡见不鲜,对于解决其它问题也有帮助,同时也是数学美的很好体现。通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数对称性有关的性质。
【关键词】函数;对称性;应用
中图分类号:G652.2   文献标识码:A   文章编号:ISSN1001-2982 (2019)06-188-02
        1、不同函数对称性的探究
        定理1. 函数y = f (x)与y = 2b-f (2a-x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。
        定理2. ①函数y = f (x)与y = f (2a-x)的图像关于直线x = a成轴对称。
        ②函数y = f (x)与a-x = f (a-y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。
        ③函数y = f (x)与x-a = f (y + a)的图像关于直线x-y = a成轴对称。
        定理2证明留给大家思考,现证定理1
        设点P(x0 ,y0)是y = f (x)图像上任一点,则y0 = f (x0)。记点P( x ,y)关于点A(a,b)的中心对称点为P‘(x1,y1),则x1+x0 =2 a , y1 +y0= 2b,∴x0 = 2a-x1, y0=2b-y1 代入y0 = f (x0)之中得2b-y1 = f ( 2a-x1) ∴点P‘(x1,y1)在函数y = 2b-f (2a-x)的图像上。
        同理可证:函数y = 2b-f (2a-x)的图像上任一点关于点A(a,b)的中心对称点也在函数y = f (x)的图像上。故定理1成立。
        推论:函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。
        例1.设函数 y=f(x)的定义域为 R,那么函数 y=f(x-1)与函数 y=f(1-x)的图象关于(  )对称。
        (A)直线 x=0 (B)直线 x=1
        (C)直线 y=0 (D)直线 y=1
        解:令t=x-1,则1-x=-t,故两个已知函数即为y=f(t)与 y=f(-t),它们的图象关于直线t=0对称,即关于直线x-1=0对称,故选 B。
        三角函数图像的对称性列表
        函  数 对称中心坐标 对称轴方程
        y = sin x ( kπ, 0 ) x = kπ+π/2
        y = cos x ( kπ+π/2 ,0 ) x = kπ
        y = tan x (kπ/2 ,0 ) 无
        注:①上表中k∈Z,②y = tan x的所有对称中心坐标应该是(kπ/2 ,0 )。
        例2:若函数f(x)=sin(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为,且该函数图象关于点(x0,0)成中心对称,x0∈,则x0=(  )
        A.        B.          C.          D.
        解析:选A由题意得=,T=,则=2.由=(k∈Z),得x0=(k∈Z),又x0∈,所以x0=.故选(A)。
        2、函数自身的对称性探究
        定理3:函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是
        f (x) + f (2a-x) = 2b
        证明:(充分性)设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点,则y0 = f (x0)
        ∵ f (x) + f (2a-x) =2b∴f (x0) + f (2a-x0) =2b,即2b-y0 = f (2a-x0) 。
        故点P‘(2a-x0,2b-y0)也在y = f (x) 图像上,而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称,充分性得证。


        (必要性)设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点,∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P‘(2a-x,2b-y)也在y = f (x)图像上,∴ 2b-y = f (2a-x)
        即y + f (2a-x)=2b故f (x) + f (2a-x) = 2b,必要性得证。
        推论:函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (-x) = 0
        定理4. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是:
        f (a +x) = f (a-x) 即f (x) = f (2a-x)
        推论:函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (-x)。
        定理5. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称(a≠b),则y = f (x)是周期函数,且2| a-b|是其一个周期。
        ②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a和直线x = b成轴对称(a≠b),则y = f (x)是周期函数,且2| a-b|是其一个周期。
        ③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称(a≠b),则y = f (x)是周期函数,且4| a-b|是其一个周期。
        以下给出③的证明:
        ∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称,
        ∴f (x) + f (2a-x) =2c,用2b-x代x得:
f (2b-x) + f [2a-(2b-x) ] =2c………………(*)
        又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称,
        ∴ f (2b-x) = f (x)代入(*)得:
        f (x) = 2c-f [2(a-b) + x]…………(**),用2(a-b)-x代x得
        f [2 (a-b)+ x] = 2c-f [4(a-b) + x]代入(**)得:
        f (x) = f [4(a-b) + x],故y = f (x)是周期函数,且4| a-b|是其一个周期。
        例3.定义在R上的非常数函数满足:f (x+10)为偶函数,且f (5-x) = f (5+x),则f (x)一定是(   )
        (A)是偶函数,也是周期函数
        (B)是偶函数,但不是周期函数
        (C)是奇函数,也是周期函数
        (D)是奇函数,但不是周期函数
        解:∵f (10+x)为偶函数,∴f (10+x) = f (10-x).
        ∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ,因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数,∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴,因此f (x)还是一个偶函数。
        故选(A)  3、教学启示
        3.1强化对定理推论的理解,能有效解读函数的对称性
        运用定理以及推广结论的过程,初步体验数学程序性知识学习的特点,体会数学的作用与价值,培养分析问题、解决问题的能力,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决。
        3.2关注函数图像的对称性,提升数形结合的解题能力
        对称是函数图像的重要性质,解决对称性能有效提高学生的数学思维能力、空间想象能力、数形结合的能力、分析和解决问题的能力。高中数学中常见的两个函数图像对称性质与函数自身对称性质,特别是在新课改的背景下更强调运用数学知识解决实际问题的能力。
        3.3对对称性需要理解,定理推论记忆太难。
        上面所列定理及推论,太抽象,而且条目有点多,学生去记忆是不可能的,需要他们去理解,因此可以考虑通过一些具体的例题,引导学生去实践,去用所学知识解决实际问题。这样,学生才能既理解了知识,又学会了解决实际问题的方法。比如由那几个对称性推出函数的周期性的问题,可以让学生结合三角函数y=sinx和y=cosx来结合理解。
参考文献
[1]陈青山.高中数学函数单调性解题方法的研究思考[J]. 语数外学习(数学教育),2013(04):74.
[2]黄婷婷.例谈高中数学函数对称性的应用[J]. 数学学习与研究,2013(13):65.
[3]钟海锋.高中数学函数的奇偶性、周期性及图象的对称性探究[J]. 学周刊,2015(33):150.
[4]许红玲.信息技术与高中数学函数教学的整合与案例研究[D].东北师范大学,2012.
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