初中数学问题解决策略研究——利用不等式(组)求取值范围的策略

发表时间:2018/10/9   来源:《教育学》2018年9月总第153期   作者:张磊
[导读] 初中数学的问题解决策略,本质上属于程序性知识。

云南省保山市隆阳区彭海中学 678013
        摘 要:初中数学的问题解决策略,本质上属于程序性知识。为了促进策略性知识的获得,教师在教学的设计、实施和反馈补偿中,应该围绕“促成学生构建良好认知结构,以利于迁移”;“促成学生程序性技能的自动化,以提高解决效率”;“进行从规则——例子,从例子——规则的教学,促成学生完成信息编码,实现知识精致化”三个方面来进行。
        关键词:问题解决策略 认知分析 教学对策
一、问题解决策略概述
        问题是指个人面对疑难或难题时,对于初始状态A至目标状态B之间的认知转化空间,不能用现有的知识和经验加以处理,促成起点A转化至终点B的情境。
        问题解决是指在问题目标B的引导下,利用问题所提供的初始信息A,依赖认知算子,进行一系列认知信息加工的过程。其中,控制和组织信息加工的程序性知识就是问题解决策略,它的作用是使问题发生某些变化并由此提供一定信息的处理、试验或探索的方法和技术。例如,初中数学求取值范围问题中,题目的已知条件和求解结果构成了问题解决的情境,而要求出具体的取值范围,必须应用已知的条件进行一系列的认知操作,操作成功,问题才得以解决。
问题解决策略可分为两大类:算子式和启发式。
        1.算子式。
        算子式是一种按逻辑来解决问题的策略。它是一定能得出正确答案的特定程序。例如求一元一次方程的解,严格执行“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为一”的程序性知识,最终一定能成功解决问题。当然,运用这种解决策略,问题解决者通常需要作出大量的尝试。
        2.启发式。
        启发式是由以往解决问题的经验形成的一些经验规则,例如求取值范围的问题解决策略,在学习后你可能会想到用五步骤的方式来设计和解决求取值范围的问题。启发式策略与算法式不同,它并不能保证得到答案,但这种缺点可以通过其容易且速度快的优点而得到补偿。
二、初中数学求取值范围常见问题类型
        不等式是初中数学重要的学习内容。
        1.它在思维训练,逻辑训练和思维习惯养成方面有着比其他科目更有效的作用。
        2.不等式本质的判定、筛选等在物理运算,生化演变,计算机编程等方面都有着无可比拟的作用。
        3.它在实际生活中有广泛的应用。在初中阶段,利用不等式求取值范围主要有以下三类问题类型:
        (1)函数类:依据函数y=f(x),对自变量x或因变量y的不等量关系建立不等式(组),进而求出自变量x或因变量y的取值范围的问题。
        (2)生活背景类:依托实际背景,依据公式对任一数量的不等量关系建立不等式(组),进而求出公式中任一数量的取值范围的问题。
        (3)几何图形类:依据几何公式对任一数量的不等量关系建立不等式(组),进而求出公式中任一数量的取值范围的问题。
三、利用不等式(组)求取值范围的策略
        笔者在多年的教学中,整理和归纳出利用不等式(组)求取值范围的策略,具体内容是:
        1.定义:
        在初中数学学习阶段,当问题的目标状态是求取值范围,且初始状态包括一个或多个不等量关系时,利用列、解不等式(组)的程序性知识,操作和控制一系列信息加工行为,从而实现问题解决的认知策略。
        2.认知分析:
        如果目标是求取值范围,而且条件中包含一个或多个不等量关系,那么明确利用不等式(组)求取值范围。如果目标是求取值范围,而且明确利用不等式(组)求取值范围,那么列表格、辨别所有数量。如果明确利用不等式(组)求取值范围,而且包含所有数量的表格已经列出。那么搜索已有的、包含较多本问题数量的不等量关系,如果目标是求取值范围,而且一个或多个不等量关系已经被建立。那么列出一个或多个不等式(组),如果目标是建立一个或多个不等式(组)。那么一个或多个不等式已经列出,那么解不等式(组)。如果目标是求取值范围,而且不等式(组)已经解出,那么检验解集,如果目标是求取值范围,而且不等式(组)已经求出解集,那么表达结果。
        3.问题解决的步骤:
        (1)列表,明确数量。
        (2)分析,联想不等量关系。
        (3)设元,转化为不等式(组)。
        (4)解不等式(组)。
        (5)检验,表达取值范围。
四、利用不等式(组)求取值范围示例及认知分析
        以下结合具体问题及解决过程,对利用不等式(组)求取值范围的基本策略进行认知分析:
        问题一:(云南省八地市2013年中考数学试卷第22题)某中学为了绿化校园,计划购买一批榕树和香樟树,经市场调查榕树的单价比香樟树少20元,购买3棵榕树和2棵香樟树共需340元。
        1.请问榕树和香樟树的单价各多少?
        2.根据学校实际情况,需购买两种树苗共150棵,总费用不超过10840元,且购买香樟树的棵树不少于榕树的1.5倍,请你算算,该校本次购买榕树和香樟树共有哪几种方案。
        认知分析:如果目标是求具有实际背景的购买香樟树数量的取值范围,而且明确利用不等式(组)解决,那么寻找关于香樟树数量的不等量关系,如果目标是寻找关于香樟树数量的不等量关系,而且不等量关系已经确定榕树费用+香樟树费用≤10840,香樟树数量≥榕树数量·1.5。那么列出不等式组             ,如果目标是求香樟树数量x的取值范围,而且不等式组已经建立,那么解不等式组,得58≤x≤60,如果目标是求香樟树数量x的取值范围,而且解集已经确定,那么检验,得x=58,59,60。
        解答过程:
        (1)略。
        (2)解:由(1)得榕树60元/棵,香樟树80元/棵,设实际购买香樟树x棵,榕树(150-x)棵,有:
           ,解得:58≤x≤60,经检验x=58,59,60。
       问题二:


        (2015北京中考数学卷第29题)在平面直角坐标系xoy中,⊙C的半径为r,P是与圆心C不重合的点,点P关于O的反称点的定义如下:若在射线CP上存在一点P`,满足CP+CP`=2r,则称P`为点P关于C的反称点,下图为点P及其关于C的反称点P`的示意图。
        (1)略。
        (2)当⊙C的圆心在x轴上,半径为1,直线y=-  x+2 3与x轴,y轴分别交于点A,B,若线段AB上存在点P,使得点P关于⊙C的反称点P`在⊙C的内部,求圆心C的横坐标的取值范围。
        认知分析:如果目标是求点横坐标x的取值范围,而且明确利用不等式(组)思想解决,那么寻找关于点横坐标x的不等量关系,如果目标是寻找关于点横坐标x的不等量关系,而且不等量关系已经确定6-横坐标=垂线段×2,垂线段≤线段CP≤半径×2,横坐标≤6。那么列出不等式组      ,如果目标是求点横坐标x的取值范围,而且不等式组已经建立,那么解不等式组,得2≤4≤6。如果目标是求点横坐标x的取值范围,而且解集已经确定,那么检验,得2≤4≤6。


解答过程:
        (2)解:设C(x,0)。①如右图,当⊙C在OA上时,作CE⊥AB点,有CE≤CP≤2r=2,且CA=2CE,∴(6-x)≤4。解得x≥2,当x=2时,C点坐标(2,0),E点的反称点E`(2,0)在圆的内部。②略。
五、促进策略学习的教学措施
        显然,利用不等式(组)求取值范围的策略属于特殊领域的策略性知识,本质上属于程序性知识,在学习的认知阶段,学生将使用自己已有的一般产生式或弱的方法,对某一技能作出陈述性的解释,并对这一技能的各项条件及行动形成最初具有陈述性特征的编码;在联系阶段,原先指导行为的知识将发生两种转变,一是最初对技能所作的陈述性表征将慢慢转变为特殊领域里的程序性知识,二是构成这一程序的各个部分的产生式间的联结将得到增强。在自动化阶段,整个程序本身将得到进一步的精致和协调。因此,问题解决策略的教学应该在教学设计、实施和反馈补偿中,围绕以下三个方面来促成学生的学习。
        1.促成学生构建良好认知结构,以利于迁移。
        认知结构是学生头脑里的知识结构,是学生头脑中全部观念的内容和组织,是影响学习和迁移的重要因素。在研究了新手与专家在问题解决中的差异表现后,心理学家曾如此总结良好认知结构的重要性:“总之,心理模型的研究支持了当前这一理认观点,即应把获得知识和技能的大部分学习过程放在介绍和发展有组织的知识上面,一个人对某一领域越是拥有更多的知识,越能作出推论和用来建立心理模型,越能对新的信息作出精深的加工,增强提取及促进学习,因此,获得和操练完备的知识结构, 包括使知识能易于提取,对于教学而言是一个至关重要的目标。”在列不等式(组)求取值范围的教学中,应促成学生形成以下良好的知识结构:

        2.促成学生程序性技能的自动化,以提高解决效率。
        (1)帮助学生掌握子技能或前提技能。是从需要传授的技能中分解出它的子技能,从这些技能中又再次分解出它们的子技能,在教学实施中分别传授这种层级中的各个子技能。
        (2)促进组合。给学生提供将小的程序合成大程序的机会,下表为利用不等式(组)策略求取值范围认知策略合成后的产生式。

        (3)促进程序化。一旦学生在一些小的产生式上达到了自动化的程度,并开始将这些小的产生式合成大的产生式时,教师为促进学生实现整个技能自动化所需做的工作是,保证让学生练习整个程序中所含有的一系列产生式步骤,而不再是单独练习部分的产生式。
        3.开展“规则——例子”,“例子——规则”的教学,促成学生完成信息编码,实现知识精深化。
        通过“规则——例子”,“例子——规则”的教学,帮助学生建立更广阔的知识背景,使新知识与旧知识建立起更多的联系和扩充,实现认知的精深化,使得知识的储存和提取都更轻松,实现能力的提升。

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