三角函数与解三角形

发表时间:2018/10/8   来源:《教育学》2018年9月总第153期   作者:谢军
[导读] 作为基本初等函数之一,三角函数是刻画现实世界中周期现象的重要函数模型,在数学和其它领域中有重要作用。

云南工业技师学院 云南 曲靖 655000
        摘 要:三角函数是刻画现实世界中周期现象的重要函数模型,在数学和其它领域中有重要作用.三角知识是技工院校数学学科的重要内容,其中函数的图像和性质、三角变换、解三角形的交汇与综合是三角中的重要题型,本文对此作一些探索分析。
        关键词:数学 三角函数 解三角形
        作为基本初等函数之一,三角函数是刻画现实世界中周期现象的重要函数模型,在数学和其它领域中有重要作用。三角知识是技工院校数学学科的重要内容,其中函数的图像和性质、三角变换、解三角形的交汇与综合是三角中的重要题型,本文对此作一些探索分析。
一、三角函数线及其应用
        角α的终边OP与单位圆⊙O交于点P,PM⊥x轴于M,单位圆⊙O与x轴正半轴交于点A,AT与x轴垂直且与α的终边(或其延长线)交于点T。据三角函数定义,可用有向线段的数值表示三角函数:sinα=MP(正弦线),cosα=OM(余弦线),tanα=AT(正切线),正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线。
        三角函数线是非常有效的几何工具,教材就用它求作正弦函数、余弦函数、正切函数的图象,从几何角度用三角函数线求解某些三角问题显得直观简洁明了。
        例1:求分别满足下列条件的α的取值范围:
        (1)sinα=cosα。
        (2)sinα>cosα。
        (3)sinα<cosα。
        解答:设角α的终边与单位圆交于点P(x,y),如图。

        
        (1)sinα=cosα就是MP=OM即y=x,α的终边就是第一或三象限的平分线,α的集合就是{α|α=kπ+π/4,k∈Z}。
        (2)sinα>cosα就是MP>OM即y>x,α的终边位于第一、三象限平分线上方(可用线性规划知识),α的集合就是{α|2kπ+π/4<α<2kkπ+5π/4,k∈Z}。
        (3)类似(2)的解法可得满足sinα<cosα的α的集合就是{α|2kπ-3π/4<α<2kkπ+π/4,k∈Z}。
        例2:求函数y=1g(2sinx- 2)+1g(1-2cosx)的定义域。
        解答:2sinx- 2>0sinx> 2/2,1-2cosx>0cosx<1/2。
        作出单位圆如下图,角x的终边与单位圆交于点P:
        
        sinx> 2/2等价于角x的正弦线MP的端点P在直线y= 2/2上方的单位圆弧上;cosx<1/2等价于角x的余弦线OM的端点M在直线x=1/2左侧,相应的点P在直线x=1/2的左侧的单位圆弧上。二者取交集,P在劣弧BC上,据此得x的范围即该函数定义域为:{x|2kπ+π/3<x<2kπ+3π/4}。
        归纳:三角函数本身就是用“图形”定义的,三角函数线是三角函数的几何直观显示,用单位圆及其中的三角函数线处理同角三角函数的方程和不等式问题,形象直观。解题关键是要善于将三角函数(代数)用三角函数线(几何)表示出来。
二、三角函数的图像与性质
        同学们要在熟练掌握y=sinx、y=cosx和y=tanx的图象和性质基础上,理解复合三角函数y=Asin(ωx+)的图象和性质,包括五点作图法(关键点作图法)、图像的平移伸缩变化规律、定义域值域(峰值最值)、周期、单调区间、对称中心、对称轴等基本知识,并且会用这些基本知识解决相关的三角函数问题。
        例3:作函数y=2sin(2x-π/3)在区间[0.5π/6]上的示意图。
        解答:0≤x≤5π/6-π/3≤2x-π/3≤4π/3,列出函数在区间上[0.5π/6]的图像的关键点如下表:
        2x-π/3   -π/3   0     π/2    π     4π/3
           x      0   π/6  5π/12  2π/3  5π/6
           y     -  3    0     2      0    -  3
        据此作出关键点描出函数在区间[0.5π/6]上的图像如下:
       
        归纳:这是一类学生最容易“眼高手低”“会儿不对,对而不全”的作图问题。教材给出求作复合三角函数y=Asin(ωx+)在一个完整周期上的图像的示例,确定并作出三个“零点”、一个峰点和一个谷点等共五个点,然后再用平滑曲线连接,称作“五点法”。但本题所给区间不是完整的周期段,机械套用前述“五点法”就不通畅.规范简明的做法是,由x的范围导出ωx+的范围,确定区间上包含的峰点谷点“零点”(不一定有,也可能不止一个)、计算端点函数值,它们是确定图象性状和范围的关键点,作出这些关键点后再据单调和凹突性状描线作图。称之为“关键点法”。
        例4:函数f(x)=Asin(ωx+)+B,对x∈R都满足:f(π/4+x)=f(π/4-x)、f(π/2+x)+f(π/2-x)=2,f(π/4)=4,π/2属于函数f(x)的一个递增区间,求f(0)的值。
        解答:由f(π/4+x)=f(π/4-a)知道f(1)的图象关于直线x=π/4对称,则ω·π/4+=mπ+π/2(m∈Z)①;再由f(π/4)=4知道±A+B=4。
        由f(π/2+x)+f(π/2-x)=2知道函数f(x)的图象关于点(π/2,1)呈中心对称对称,则B=1,再由π/2属于f(x)的一个递增区间知道:ω·π/2+=2nπ(n∈Z)②。
        将B=1代入±A+B=4中解:A=±3。
        联立①②解得:
        ω=4(2n-m)-2,
        =(2m-2n+1)π,
        所以,f(0)=Asin+B
        =±2sin(2m-2n+1)π+1=1。
        归纳:复合三角函数y=Asin(ωx+)的图象对称轴横坐标就是使得函数取得最值的 值,对称中心横坐标就是函数“零点”,据此可列出ω、所满足的方程(组),根据对称轴经过峰点还是谷点、“零点”在增区间还是在减区间上,可以使方程(组)更具体(唯一)。以上是解决函数图象信息问题的重要策略。
        例5:函数f(x)=Asin(ωx+)(ω>0,||<π)的图像的一个片段如下:
        
        (1)求这个函数的解析式。
        (2)求使函数取得最小值的 的取值集合。
        (3)求这个函数的单调区间。
        解答:(1)函数f(x)=Asin(ωx+)的零点就是函数图像的对称中心(横坐标),由图像知道振幅A=2,四分之一周期T/4=5-3=3-1=2(或者知半周期T/2=5-1=4),则周期2π/ω=T=8,ω=π/4。
        (3,-2)是函数图像的一个谷点,则sin(π/4·3+)=-1,即+3π/4=-π/2+2kπ,=2kπ-5π/4,再由||<π确定=3π/4。
        (或者:由零点(5,0)在函数的递增区间上知,π/4·5+=2kπ,=2kπ-5π/4,…;或者:由零点(1,0)在函数的递减区间上知,π/4·1+=2kπ+π,=2kπ+3π/4,…)
        所以,函数解析式是f(x)=2sin(πx/4+3π/4)。
        (2)f(x)取最小值时,πx/4+3π/4=2kπ-π/2,据此求得使f(x)取最小值的x的集合是{x|x=8k-5,k∈Z}。
        (3)已知y=sinx的单增、单减区间分别是[2kπ-π/2,2kπ+π/2]、[2kπ+π/2,2kπ+3π/2],依据复合函数单调性知识,依次由2kπ-π/2≤nπ/4-3π/4≤2kπ+π/2,2kπ+π/2≤nπ/4-3π/4≤2kπ+3π/2。
        解得函数f(x)的递增、递减区间依次为[8k+1,8k+5]、[8k+5,8k+9]。
        归纳:三角函数图象信息问题,除关注“零点”峰点谷点外,还要充分利用关键点横坐标与周期、半周期、四分之一周期的关系。
三、解三角形问题
        三角形有三边和三角共6个元素,已知一些元素(或元素间关系)求另一些元素或相关问题,就是解三角形的问题。正弦定理、余弦定理(包括变式)及三角形内角和是求解三角形问题的重要工具。
        例6:已知△ABC内角满足6sinA=4sinB=3sinC,分别求sinA、sinB、sinC的值。
        解答:已知6sinA=4sinB=3sinC,由正弦定理得6a=4b=3c。6、4、3的最大公倍数是12,设6a=4b=3c=12K,则a=2k、b=3k、c=4k,则
cosA=(b2+c2-a2)/2bc=21k2/24k2=7/8,
sinA= 1-sin2A= 15/8,
sinB=6/4·sinA=3 15/16,
sinC=6/3·sinA= 15/4。
        归纳:正弦定理、余弦定理实现将角的问题化归为边的问题,或者实现将边的问题化归为角的问题。解题中要注意应用比例知识巧妙简化计算。
        例7:已知△ABC内角A、B、C的对边长依次为a、b、c,满足asinA+csinC- 2asinC=bsinB。(1)求B;(2)若A=75°,b=2,求a、c。
        解答:(1)已知asinA+csinC- 2asinC=bsinB,由正弦定理得:a2+c2-b2= 2ac,则由余弦定理得:
cosB=     =   =  >0,所以,B=45°。
(2)由(1)知B=45°,又已知A=75°,则C=60°。已知b=2,由正弦定理得:
  =  =  =   =2 2,
a=2 2·sinA=2 2·sin(45°+30°)=1+ 3,
c=2 2·sinC=2 2·sin60°= 6。
        归纳:在三角形问题中,经常出现边角混杂的条件式,要尝试用正弦或余弦定理将它化归为边的问题或角的问题。要注意观察发现条件式的整体特征,要充分应用特征解题。
        例8:如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC= 7。
        (1)求cos∠CAD的值。
        (2)若cos∠BAD=- 7/14,sin∠CBA= 21/6,求BC的长。

 

解答:(1)已知在△ACD中,AD=1,CD=2,AC= 7,由余弦定理得:
cos∠CAD=        =  。
(2)由cos∠CAD=  得sin∠CAD=  。
由cos∠BAD=- 7/14得sin∠BAD=3 21/14。
则sin∠BAC=sin(∠BAD-∠CAD)
=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD
=…= 3/2。
已知sin∠CBA= 21/6,由正弦定理得:
     =     ,
BC=     ·AC= · · 7=3。
        归纳:正弦定理、余弦定理是解决平面几何问题的一个工具,平几问题解法探究中要分析题目条件中的边角及关系、明确解题目标,有效地通过正弦定理、余弦定理寻求几何条件和几何目标之间的关系。
四、以三角形为背景的复合三角函数问题
        在三角试题中,为了增加考点覆盖面,命题专家经常以三角形为载体(背景),以三角变换、三角函数及其性质为工具,实行知识和方法的交汇,命制综合性的三角问题。这类问题考试频率比较高。
        例9:设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且a+c=6,b=2,cosB=7/9。 (1)求a、c的值。(2)求sin(A-B)的值。
        解答:(1)已知a+c=6,b=2,cosB=7/9,由余弦定理得:b2=a2+c2-2ac·cosB=(a+c)2-2ac·(1+cosB)4=36-2ac(1+7/9)ac=9,联立a+c=6与ac=9,解得a=c=3。
        (2)由余弦定理得cosA=(b2+c2-a2)/2bc=1/3,则sinA= 1-cos2A=2 2/3。
        由cosB=7/9得sinB= 1-cos2B=4 2/9,所以sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB=2 2/3·7/9-1/3·4 2/9=10 2/27。
        例10:在△ABC内,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB。(1)求B;(2)若b=2,求△ABC面积的最大值。
        解答:(1)已知a=bcosC+csinB,由正弦定理得:
        sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB
        cosBsinC=sinCsinB(sinC≠0)
        cosB=sinB(0<B<π)
        B=45°。
        (2)法一:
        B=45°C=135°-A(0°<A<135°),用正弦定理,    =  =  =   =        2 2,
        a=2 2·sinA,
        c=2 2·sinC=2 2·sin(135°-A)
        所以,S△ABC= ac·sinB
        =4·sinAsinC·sin45°
        =2 2·sinAsin(135°-A)
        =2 2·sinA(  cosA+  sinA)
        =sin2A+1-cos2A
        = 2sin(2A-45°)+1
        0<A<135°-45°<2A-45°<225°,
        所以,(S△ABC)max=1+ 2。
        法二:用余弦定理和均值不等式,
        b2=a2+c2-2ac·cosB
        22≥2ac-2ac·cos45°
        ac≤2 2( 2+1)(a=c时取等号)。
        所以,S△ABC= ac·sinB
        ≤ ·2 2( 2+1)·sin45 °=1+ 2。
        例11:△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosC+(cosA- 3·sinA)·cosB=0。
        (1)求角B的大小。
        (2)若a+c=1,求b的取值范围。
        解答:(1)
        cosC+(cosA- 3·sinA)·cosB=0
-        cos(A+B)+(cosA- 3·sinA)·cosB=0
        sinAsinB- 3sinAcosB=0(sinA≠0,cosB≠0)
        tanB= 3B=60°
        (2)法一:用正弦余弦定理,
          =  =  = ,
        a=  sinA,c=  sinC
        a+c=1  (sinA+sinC)=1
        b= ·
        sinA+sinC=sinA+sin(120°-A)
        =sinA+  cosA+ sinA
        = 3·sin(A+30°)
        0<A<120°30°<A+30°<150°,
        则  < 3·sin(A+30°)≤ 3,
         ≤b= ·     <1,
        所以,b的取值范围是[ ,1)。
        法二:已知a+c=1,用余弦定理,
        b2=a2+c2-2ac·cosB
        =a2+(1-a)2-a(1-a)
        =3(a- )2+ (0<a<1)
        则 ≤b2<1, ≤b<1。
        归纳:例9至例11,都是以三角形为载体的三角综合问题,覆盖面较广。其共性就是给出三角形的一些元素或关系式(如给出面积实质就是给出一个边角关系式),求某个边或角,或求解与边或角相关的问题。正弦定理、余弦定理就是这类问题的条件之间或条件与目标之间的桥梁,通过化归转移,问题最终转化为关于边的代数问题(如二次函数、均值不等式等)或纯粹的关于角的三角函数问题。解题中要注意三角变换公式的巧妙应用。

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