不等式及其基本方法

发表时间:2018/9/6   来源:《教育学文摘》2018年10月总第280期   作者:谢军
[导读] 本文由浅入深,带领同学们对不等式最基本的知识和方法做一些学习思考和感悟提升。

云南工业技师学院 云南 曲靖 655000
        摘 要:在现实世界之中,“等”是相对的,“不等”是绝对的,“不等关系”比“相等关系”多得多。不等式来源于生活实践,它是数学学科的重要内容,不等式的基础知识和基本方法在数学科学中具有重要的工具作用。本文通过对多年职业院校数学课教学的经验总结,由浅入深,对不等式最基本的知识和方法做一些学习思考和感悟提升。
        关键词:数学 不等式 基本知识和方法
        在现实世界之中,“等”是相对的,“不等”是绝对的,“不等关系”比“相等关系”多得多。不等式来源于生活实践,它是数学科的重要内容,不等式的基础知识和基本方法在数学科学中具有重要的工具作用。本文由浅入深,带领同学们对不等式最基本的知识和方法做一些学习思考和感悟提升。
一、“不等式”基本概念
        实数集与数轴上点的集合间形成一一对应的关系。任何两个实数都是可以比较大小的,数轴上越趋向正方向的点对应的数越大。
  

        表示不等关系的式子叫做不等式。如x>y,a<b,x+y>3,5>3等都是不等式;5<3,3>8也是不等式(只是不成立而已)。
        在不等式x>y中,x、y可以是具体的实数,也可以是结果为实数的代数式,我们不妨把x>y广义地理解为“串1>串2”。
二、不等式基本性质
        在比较或推证两个式子的大小时,经常用到不等式的如下基本性质:
        1.对称性:a>bb<a。
        2.传递性:a>b,b>ca>c。
        a≥b,b≥ca≥c(当且仅当a=b,b=c时a=c)。
        3.可加性:a>ba+c>b+c。
    a+c≥b+d,同向不等式对应相加,方向不变。(当且仅当a=b且c=d时a+c=b+d。)
        4.可乘性:     a·c≥b·d≥0。非负值同向不等式对应相乘,方向不变。a=b且c=d时a·c=b·d。
        5.乘方开放:a>b>0an>bn, a> b(n∈N,n≥2).
三、基本不等式
        a、b∈R,(a-b)2≥0a2+b2≥2ab①,当且仅当a=b时取等号。
        a、b∈R+,( a- b)2≥0  ≥ ab②,当且仅当a=b时取等号。若ab=G(常数),则当且仅当 a=b= G时,(a+b)min=2 G;若a+b=A(常数),则当且仅当a=b= A时,abmax=( )2。
        不等式①②是两个最简单、最基本也是最重要的不等式,要能够熟练应用。
四、一元二次不等式
        一元二次不等式和一元二次方程、一元二次函数一起统称为“三个二次”,它们具有重要的工具作用。二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)如果有零点,则零点就是二次方程ax2+bx+c=0的实数根,零点(实根)必然是二次不等式ax2+bx+c>0(<0)解集的边界。对判别式△=b2-4ac正负情况讨论,数形结合,想象着二次函数图像写二次不等的解集就会显得形象、简洁、方便。不妨设a>0:
        △>0时, 方程f(x)=0有两个实根x1,2=    (x1<x2),不等式f(x)>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),不等式f(x)<0的解集是(x1,x2);△=0时,方程f(x)=0有两个相等实根x1,2=    =-  (x1=x2),不等式f(x)>0的解集是{x|x∈R,x≠-  }, f(x)<0的解集是空集Φ;△<0时,方程f(x)=0没有实根,不等式 f(x)>0的解集是R,不等式f(x)<0的解集是空集Φ。
a<0时做类似处理。
五、不等式基本方法例示
        比较两个实数(两串代数式)的大小,最基本的方法是作差(商)比较法。其次,利用基本不等式、函数单调性、综合法、分析法、等价化归等都是常用的处理手段。
        1.利用作差比较法比较大小
        例1.(1)a是非零实数,比较a与 的大小。
        (2)比较 6+ 11与 5+ 12的大小。
        (3)已知a≠0,a+m≠0,比较 与   的大小。
        (4)已知a、b、c>0,比较a3+b3+c3与3abc的大小。
        解:(1)a- =      。
        ①a=±1时,a- =0,a= 。
        ②-1<a<0或a>1时,      >0,a> 。
        ③a<-1或0<a<1时,      <0,a< 。
        (2)( 6+ 11)-( 5+ 12)
        =( 6- 5)-( 12- 11)
        =    -      >0,
        所以,( 6+ 11)>( 5+ 12)。
        (3)   - =         =     。
        ①m=0或a=b时,     =0,   = 。
        ②am(a+m)·(a-b)>0时,   > 。
        ③am(a+m)·(a-b)<0时,   < 。
        (4)(a3+b3+c3)-3abc
        =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc
        =(a+b+c)·[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)
        =(a+b+c)·(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
        = ·(a+b+c)·[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0,
        所以,(a3+b3+c3)≥3abc,当且仅当a=b=c时取等号。
        例2.已知a≥b>c,求证:2a3-b3≥2ab2-a2b。
        证明:(2a3-b3)-(2ab2-a2b)=2a(a2-b2)-b(a2-b2)=(a+b)(a-b)(2a-b),由a≥b>c,知:a+b>0,a-b≥0,2a-b>0,则(a+b)(a-b)(2a-b)≥0。所以,2a3-b3≥2ab2-a2b。
        方法思想: 用X、Y表示两个实数(或代数式),则:X-Y=0X=Y;X-Y>0X>Y;X-Y<0X<Y。这是比较两个实数大小的符号法则,用它比较两个代数式大小的基本步骤是:作差→变形(配凑)→定正负→下结论。
        通常把这种比较大小的方法叫做作差比较法,它是比较大小最基本,也是最重要的方法。
        2.利用作商比较法比较大小
        例3.已知a、b、c>0,比较aabbcc与abbcca的大小。
        解:不妨设a≥b≥c>0,作商配凑:
           =    =     
        =( )a-b ·( )b-c,
        a≥b≥c>0
         ≥1, ≥1,a-b≥0,
        ( )a-b≥( )0=1,( )b-c≥( )0=1,
        ( )a-b·( )b-c≥1,(a=b=c时取等号)。
        所以,aabbcc≥abbcca(当且仅当a=b=c时取等号)。
        方法思想:当要比较的两个代数式是乘积式(若干个因式之积)时,一般便于乘除和指数运算,通常作商与1比较大小。B>0时: >1A>B, <1A<B。用作商比较法比较两式大小的基本步骤是:作商→变形(乘除和指数配凑)→与1比较→下结论。
        3.利用不等式的基本性质比较大小
        例4.(1)已知a>b,比较a3与b3的大小。
        (2)已知a>b>c>0,比较  与  的大小。
        解:(1)a>b≥0时,a3>b3;a≥0>b时,a3≥0,b3<0,必有a3>b3;b<a<0时,-b>-a>0,(-b)3>(-a)3,-b3>-a3,则a3>b3。所以,a>b时恒有a3>b3。
        (2)a>b>c>00>b-a>c-a
        a-c>a-b>0  >  >0①,
        已知b>c>0②,
        ①②两个同向不等式对应相乘得:  >  。
        方法思想:利用不等式的基本性质进行变式推导,是比较大小的重要策略。要克服“想当然”和“自以为是”的想法,每一步都要有根有据,要讲究严谨的逻辑推证。
        4.利用基本不等式比较大小
        例5.(1)不全为零的实数a、b、c满足a+b+c=0,判断ab+bc+ca的正负符号。
        (2)已知a、b、c>0,比较a3+b3+c3与3abc的大小〔本题为前述例1(4)〕。
        解:(1)已知a+b+c=0,则0=(a+b+c)2
        =a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
        =   +   +   +2ab+2bc+2ca
        ≥ab+bc+ca+2ab+2bc+2ca
        =3·(ab+bc+ca)
        所以ab+bc+ca≤0,当且仅当a=b=c=0时取等号。
        又因a、b、c不全为零,所以,a+b+c<0。
        (2)已知a、b>0,则a2+b2≥2ab,a2+b2-ab≥ab>0。
        a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)≥(a+b)·ab,
        即a3+b3≥a2b+ab2①。
        同理可得b3+c3≥b2c+bc2②。
c3+a3≥c2a+ca2③。
        ①②③三个同向不等式对应相加整理并继续使用基本不等式得:
        2(a3+b3+c3)
        ≥a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)
        ≥a·2bc+b·2ac+c·2ab,
        即a3+b3+c3≥3abc。
        方法思想:注意观察剖析代数式的结构特点,进行恰当地变形配凑,巧妙地利用基本不等式a2+b2≥2ab(a、b∈R)、  ≥ ab(a、b∈R+)进行放缩,可以有效地比较某些代数式的大小。
        例6.a+b=2,b>0,则当a=____时,  + 取得最小值。
        解:从  +  的结构特点看,利用已知条件化归转化,设法利用基本不等式。
已知a+b=2,b>0,则  +  =  +  =  + 
=(   + )+ ≥1+  ,当且仅当  = ,即b=2|a|时取等号。
注意到b>0,当b=2a时,a>0,1+  = ;当b=-2a时,a<0,1+  = 。所以,  + 的最小值等于 ,该式取最小值时,b=-2a,与a+b=2联立解得a=-2。
        5.兼用综合法与分析法进行等价化归
        例7.比较 7- 3与 6-2的大小。
        解:要比较 7- 3与 6-2的大小,只需比较( 7- 3)2与( 6-2)2的大小。
        ( 7- 3)2-( 6-2)2
        =(10-2 21)-(10-4 6)
        =2( 24- 21)>0,
        所以( 7- 3)2>( 6-2)2
        所以 7- 3> 6-2。
        例8.设圆x2+y2=4的切线与x、y轴交于A、B两点,A、B距离的最小值等于    。
解:设交点A(a,0)、B(0,b),直线AB与圆相切,显然ab≠0,则切线AB的方程为: + =1即bx+ay-ab=0,由直线与圆相切的条件得:        =1,平方整理(等价)得a2b2=a2+b2,与a2+b2≥2|ab|联立得|ab|≥2。所以,|AB|= a2+b2≥ 2|ab|≥ 2·2=2,当且仅当a=±b时取等号。所以,|AB|min=2。
        6.准确熟用二次不等式基本解法
        例9.解关于x的不等式:kx2-kx+1>0。
        解:分类处理:
        (1)k=0时,不等式为0·x2-0·x+1>0(非二次),其解集为R。
        (2)k≠0时,△=k2-4k:
        ①k=4时△=0,原不等式解集是{x|x∈R,x≠ }。
        ②0<k<4时,△<0,原不等式解集是R。
        ③k<0或k>4时△>0,方程kx2-kx+1=0有两个实数根:x1=      ,x2=      。
        k>4时,“抛物线”开口向上,x1<x2,原不等式解集是{x|x<      ,x>      }。
        k<0时,“抛物线”开口向下,x1>x2,原不等式解集是{x|      <x<      }。
        例10.已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R) 的值域是[0,+∞),若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),则c=    。
        解:已知函数f(x)的值域是[0,+∞),则△=a2-4b=0,即b= ,f(x)=x2+ax+ =(x+ )2,f(x)<c(x+ )2<c(- - c,- + c)。另知不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),则(- - c,- + c)=(m,m+6),(m+6)-m=2 cc=9。
        7.善用特殊化方法探求不等式问题
        例11.设a∈R,若x≥0时均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,那么a=    。
        解:不等式对x≥0恒成立,则可用特殊化方法收缩参数a的范围(甚至直接确定其值),然后进一步探求或验证。
        在[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0中取x=2,得(2a-3)2≤0,必有(2a-3)2=0,a= 。
        验证:a= 时,[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,就是( x-1)·(x2- x-1)≥0,等价于(x-2)2(2x+1)≥0,此式对x≥0恒成立。
        故a= 。
        8.利用函数的单调性比较大小
        例12.实数a、b、c满足a+b<0,b+c<0,c+a<0,试判断a3+b3+c3+a+b+c的符号。
        解:已知a+b<0,b+c<0,c+a<0,则a+b+c<0。
        构造函数f(x)=x3+x,容易证明f(x)是R上的增函数且是奇函数。
        a+b<0a<-bf(a)<f(-b)=-f(b)f(a)+f(b)<0①。
        同理, b+c<0f(b)+f(c)<0②。
        c+a<0f(c)+f(a)<0③。
        将①②③三个同向不等式对应相加得: f(a)+f(b)+f(c)<0,即a3+b3+c3+a+b+c<0。
        例13.已知a、b、c∈R+,a2+b2=c2,n∈Z且n≠2,比较an+bn与cn的大小。
解a、b、c∈R+,a2+b2=c2( )2+( )2=1,且0< <1、0< <1。
        则指数函数y=( )x、 y=( )x都是R上的减函数,从而f(x)=( )x+( )x是R上的减函数,当然f(x)也就是整数集Z上的减函数。
        所以,n∈Z且n>2时,f(n) <f(2)( )n+( )n<( )2+( )2=1an+bn<cn;n∈Z且n<2时,f(n)>f(2)( )n+( )n>( )2+( )2=1an+bn>cn。
        综上得,n∈Z,n>2时an+bn<cn;n<2时an+bn>cn。
        方法思想:函数的单调性反映了函数值依自变量取值增大(或减小)而增大(或减小)的变化趋势,构造恰当的单调函数并利用其单调性比较某些代数式的大小,有时能起到事半功倍的效果。根据代数式的结构特点构造合适的单调函数是此种方法的关键。
        例14.已知函数f(x)=      ,a∈R,试比较f(a2-1)与f(2a)的大小。
        解:函数定义域是R,满足f(-x)=f(x),f(x)是偶函数,进而对x∈R均有f(x)=f(|x|),则f(a2-1)=f(|a2-1|),f(2a)=f(2|a|)。
        已知f(x)在[0,+∞)单调递增,要比较f(a2-1)与f(2a)的大小,只需比较|a2-1|与2|a| 的大小。
        |a2-1|2-(2|a|)2=(a2-1)2-(2a)2
        =(a2-2a-1)(a2+2a-1)
        =(a-1- 2)·(a-1+ 2)·(a+1+ 2)·(a+1- 2),
        据此得:①a=±1± 2时,|a2-1|=2|a|。
        ②a<-1- 2或1- 2<a< 2-1或a>1+ 2时,|a2-1|>|2a|。
        ③-1- 2<a<1- 2或-1+ 2<a<1+ 2时,|a2-1|<2|a|。
        综上得f(a2-1)与f(2a)的大小情况如下:
        当a=±1± 2时,f(a2-1)=f(2a);当a<-1- 2或1- 2<a< 2-1或a>1+ 2时,f(a2-1)>f(2a);当-1- 2<a<1- 2或-1+ 2<a<1+ 2时,f(a2-1)<f(2a)。
        作者简介
        谢军(1968- ),男,四川遂宁人,云南工业技师学院高级讲师,多年从事技工院校数学课教学工作。

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