数学教师的变式提问艺术

发表时间:2018/8/13   来源:《教育学文摘》2018年8月总第274期   作者:舒登科
[导读] 在数学教学活动中,教师要善于挖掘数学试题的潜在价值。

福建省沙县金沙高级中学 365500

        摘 要:在数学教学活动中,教师要善于挖掘数学试题的潜在价值。对于同一试题的不同角度的变式提问,既可以帮助学生重建所学知识,又可以突破教学重难点。
        关键词:数学教学本质 数学建模 数学思想
一、从简单的数学试题提问中挖掘数学的核心思想
        有一次上课笔者在课堂上问学生“我们知道1+2=3,那么,1+?=3,?+2=3这些答案的背后隐含着哪什么数学思想?”本题中包含的数学思想就是函数与方程的思想,在高考考试大纲中将其摆在所有思想方法的首位,由此可以看出函数与方程思想的作用和地位。笔者之所以这样提问,是想告诉学生抽象的数学思想,其实就蕴含在这些简单的问题当中,需要学生从简单的问题中去提炼总结,并应用于新的问题中。
        怎样让学生理解数学思想,并能潜移默化地应用于他们学习和生活的方方面面呢?小学、中学、高中的教材编写者考虑到不同学段学生的认知水平,在教材编写时就已在各个学段都渗入了数学思想,这些数学思想遵循了循序渐进原则、立足螺旋上升理念。然而在实际教学活动中多数教师都是通过大量的练习,反复训练,进而让学生形成了条件反射,把学生训练成会考试的机器。长此以往,学生就变得死读书、高分低能,慢慢地也就对数学失去兴趣。
二、对试题不同角度的提问来突破知识的重难点
        在学习函数与导数时,课本内容很容易理解,但用来解决高考试题还是远远不够的。所以要求教师站在更高的角度,多在思维角度设置提问训练学生。
        这是笔者在讲函数与导数试题中遇到的一道试题:设函数f(x)=a/x+xlnx,g(x)=x3-x2-3。
        (I)如果存在x1、x2∈[0,2],使得g(x1)-g(x2)≥M成立,求满足上述条件的最大整数M。
        (II)如果对于任意的s、t∈[0.5,2],都有f(s)≥g(t)成立,求实数a的取值范围。
        还可以对提问作如下变式:
        变1:如果对于存在的s、t∈[0.5,2],都有f(s)≥g(t)成立,求实数a的取值范围。
        变2:如果对于任意的x∈[0.5,2],都有f(x)≥ g(x)成立,求实数a的取值范围。
        本试题在问法设置的是非常精妙的,(I)的提问是在陌生中考熟悉,它既要学生会求y= g(x),x∈[0,2]的最小值,又要求出它的最大值,完美的解决了最值问题。学生要想解出正确答案,就一定要理解题目的符号语言,这就是转化与化归的数学思想。
        (II)问是在熟悉中考陌生,它要求出y= f(s),s∈[0.5,2]中的最小值N,再求出y= g(t),t∈[0.5,2]中的最大值M,然后在N≥M时求出实数a的取值范围。学生只要理解了s、t这2个相互独立的变量,就能理解全称命题和特称命题,但是求最大值?还是最小值?这还需要认真思考。教师在讲解(II)时就因设置“变式1”和“变式2”并让学生将它们区分开,只有这样才能让学生真正理解并突破这个知识点。
        在教学活动中教师若能够指导学生处理、区分这些问题,并让所学的知识能够在学生脑中重建,不仅会帮助学生更好的理解最值的意义,而且还能很好地训练学生的思维。教师若能长期这样做会提高学生的能力和学生学习数学的热情。
三、对高考试题的改造提问起到了举一反三的作用
        在空间立体几何的教学中,用空间向量解决二面角问题是个常见题型,历年的高考试题中都有体现。


        原题(安徽高考):如图1所示,在多面体A1B1D1DCBA中,四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形,E为B1D1的中点,过A1,D,E的平面交CD1于F。(Ⅱ)求二面角E-A1D-B1的余弦值。
        解题策略:设AD的长度为a,以A为原点建立空间直角坐标系,因为E是B1D1的中点,容易求出平面A1B1CD和平面A1EFD的法向量,进而求出二面角E-A1D-B1的余弦值为  。
        教师讲完这道问题以后,可以对这个问题重新改造再提问:求在B1D1上是否存在一点使得二面角E-A1D-B1的余弦值为  。
        这种变式问题难度不大,但是因为提问角度的改变,体现了数学中的逆向思维的方法,对训练学生思维方式是非常有帮助的。变式后的题型也是立体几何中重要题型,这样不同角度的提问、不同角度的求解,节约了大量的审题时间。教师可以利用已经展示出来的完整解题步骤,在讲解变式时只要用分析法就可以解决问题,使得课堂效率翻倍。
四、重视对试题背景的挖掘提问
        在解决概率统计问题时,很多学生看不懂题目的提问, 如2014年福建理科高考(Ⅱ)这个问题,对于笔者的感触非常深刻。
        原题:为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额。(Ⅱ)商场对奖励总额的预算是60000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成。为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由。
        问题(Ⅱ)在问什么?怎么去求解?对于“总额尽可能符合商场的预算”且“每位顾客所获的奖励额相对均衡”怎么理解?本题完美的考察了期望和方差的实际意义,它只是换提问背景,但是很多学生对该问题无从下手。出题人煞费苦心通过高考试题传递给一线教师一个信息,那就是“数学源于生活又应用于生活”,它要求学生要有应用的意识、能理解问题陈述的材料,并能将材料中的问题抽象为相关的数学问题,最后用数学思想解决问题,这也就是数学建模思想。教师讲了很多关于期望和方差的试题,但是对于“期望和方差在实际问题中表示什么?”诸如这类问题要求教师再去研究。
参考文献
[1]渠东剑 从螺旋上升视角 谈初中、高中数学衔接[J].中学数学教学参考,2016,(3)。
[2]王修鲁 对“高分低能”现状的分析及对策[J].天津师范大学学报(基础教育版) ,2009,10,(3)。
[3]霍华德·加德纳 沈致隆 译 我是怎样提出多元智能理论的——《智能的结构》出版25周年纪念[J].人民教育,2008,(9)。

 

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