解析2017年高考数学全国II卷(文理)第22题

发表时间:2017/9/4   来源:《素质教育》2017年8月总第243期   作者:练刚
[导读] 今年高考全国II卷(文理)第22题(坐标系与参数方程)考查学生求动点的轨迹方程与变三角形面积的最大值的问题。
陕西省蓝田县玉山中学 710504
  2017年的高考已经落下帷幕,今年高考全国II卷(文理)第22题(坐标系与参数方程)考查学生求动点的轨迹方程与变三角形面积的最大值的问题。
  题目:在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为pcosθ=4。
  (1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求P点的轨迹C2的直角坐标方程。
  (2)设点A的极坐标为(2, ),点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值。
  标准答案是在极坐标系下用坐标转移法先求出动点的极坐标方程,再化为直角坐标方程;三角形的面积先用两边与其夹角表示出来,转化为求三角函数的最值问题,这充分利用了极坐标的几何意义来解答,简洁明了。
  极坐标和直角坐标都是我们用代数法处理几何问题的一个工具,所以也可以完全转化为直角坐标中的问题来处理。曲线C1的直角坐标方程为x=4,设M(4,m)动点p(x,y)(x≠0)。因为p在线段OM上,所以OP与OM同向(如图1)。
  
  即4x+my=16  ①
  mx=4y    ②
  联系①②求解可得P的轨迹方程C2(x-2)2+y2=4(x≠0)。
  对于第2问A(2, )在圆C2上,且|OA|=2,所以△OAB看作以OA为底边,B为顶点。要使△OAB面积最大只需要圆C2上的点到弦OA的距离最大即可,由圆的性质可知过C2作OA的垂线与优弧的交点就是要找的B点,此时B到OA的距离为2+ 3,所以△OAB的面积最大为S= ×2( 3+2)= 3+2(如图2)。
  
  图1           图2
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