数列问题之我见

发表时间:2017/3/27   来源:《中小学教育》2017年3月第273期   作者:池新渊
[导读] 以上给大家介绍了如何利用数列递推式求数列通项公式。不论哪种类型,最核心的环节就是善于观察递推式的结构特征,构造新数列。
福建省三明市尤溪五中 365100
  摘 要:数列问题丰富多彩,有时通过构造数列去解有关数学问题,能起到化繁为简,曲径通幽的效果。本文就是通过几个案例,让大家感受构造数列的美妙性。
  关键词:构造 数列 高中数学
  数列是高中数学重要内容,也是高中数学中重要的考点。数列内容丰富,它不但可以单独命题,也可以与函数,不等式等内容相联系。创造性的构造新数列,不仅可以解决单纯数列问题,还可以解决有些有关函数最值及不等式问题。数列题孕含着丰富的数学思维,因此是历年高考必考的知识内容。
  在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n。
  (1)bn=  ,证明:{bn}是等差数列;(2)求数列{an}的前n项和。
  一、题目的立意
  本题考查了等差数列的证明,利用递推式求数列的通项公式,数列求和,构造新数列,待定系数法,化归转化等高中数学中常见的数学方法与数学思想。其中运用递推式求通项公式是近几年高考的考核重点。
  二、问题的解法
  分析:本题(1)的证明就是形如:an+1=pan+qn的通项的求法,它的核心就是构造一个新的等差或等比数列。本题中在等式两边同除以2n,就可得到:  =  +1,这样就可以构造成了一个新的等差数列,进一步求出问题的结果。我们再看一道题:
  若数列{an}的前n项和为sn,a1=1,sn+1=4an+2。
  (1)bn=an+1-2an,求{bn}的通项公式;
  (2)求数列{an}的通项公式。
  分析:不难获得数列{bn}是首项b1=3,公比为2的等比数列,∴bn=an+1-2an=3·2n-1,∴an+1=2an+3·2n-1两边同时除以2n+1得  -  = ,数列{an}是首项为 ,公差为 的等差数列,∴ = + (n-1)= n- ,an=(3n-1)2n-2。
  应该说两题有异曲同工之妙,贵在构造新数列。常用的解题策略之一就是如上两题带给我们的方法同时除以qn。

与上述类似的题型是给出递推式an+1=pan+f(n)型,求通项公式,此类型的求解常用待定系数法,构造出新数列。
  例1,a1=1,an+1= an+n+1,则{an}的通项公式。
  分析:本题不能通过两边同除以qn去解决,应该利用待定系数法的思想去构造新数列。
  an+1-x(n+1)+y= (an-xn+y),∴an+1= an+ n+x- ,∴    ,∴   ,∴an+1-2n= [an-2(n-1)],∴{an-2(n-1)}是等比数列且公比为 。a1-2(1-1)=a1=1,∴an-2(n-1)=( )n-1,∴an=2(n-1)+( )n-1。
  有关递推式求数列通项问题,常用的还有以下几种变式。
  三、问题的变式
  变式1:型如an+1=pan+q(p,q为常数)。这种类型的求解也是利用待定系数法,构造出新的等比数列来进行求解。
  例2,已知a1=1,an= an-1(n≥2)则an=______。
  分析:在这一问题中,可以令an+m= (an-1+m),解得m=-2,即an-2= (an-1-2),所以   = (n≥2),又a1-2=-1,因此{an-2}是首项为-1,公比为 的等比数列,则an-2=-( )n-1,an=2-( )n-1。
  变式2:an+1-an=f(n)型通项公式。
  例3,数列{an}各项为整数,a1=1,点( an,an+1)为函数y=x2+1上的点。
  (1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足b1=1,bn+1=bn+2n,求证bnbn+2<b2n+1。
  分析:从条件可得an+1=an+1, 数列是等差数列且以1为首项,公差为1。即an=1+(n-1)=n,因此bn+1-bn=2n,所以bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=2n-1+2n-2+…+2+1=  =2n-1,则bnbn-2-b2n+1=(2n-1)(2n-2-1)-(2n+1-1)2=-5·2n+4·2n=-2n<0。
  变式3:型如  =f(n)型与an+1-an=f(n)型相类似,可以采用累积法。
  例4,正项数列{an}中,a1=1,(n+1)2an+1-nan2+an+1an=0(n=1,2,3,l),则an=______。
  分析:已知等式可化为(an+1+an)[(n+1)an+1-nan]=0,因为an>0,所以(n+1)an+1-nan=0,∴  =  ,∴  =  (n≥2),可以通过累积法求该数列的通项公式。
  四、问题的拓展引申
  以上给大家介绍了如何利用数列递推式求数列通项公式。不论哪种类型,最核心的环节就是善于观察递推式的结构特征,构造新数列。而这样的构造思维不仅在求数列通项公式的时候经常应用,在解决一些最值及不等式问题时,若能熟练构造数列去解决问题,能起到化复杂为简单的效果。
  参考文献
  [1]苏海清 《课堂教学中培养学生数学直观思维能力的研究》.《山东师范大学》,2013。
  [2]陈文胜 《问题解决及其对数学教育的启示》.《福建师范大学》,2012。
  [3]陈丽波 《初高中数学衔接教学的实际与研究》.《苏州大学》,2013。
  [4]彭美艳 《农村初中数学思想方法的教学研究》.《湖南师范大学》,2011。
  
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