二次根式中考题综合分析

发表时间:2016/1/29   来源:《中小学教育》2015年12月总第227期供稿   作者:李霞
[导读] 山东省淄博市临淄区永流中学 二次根式中的概念、性质和加减乘除运算是中考的重点内容.

山东省淄博市临淄区永流中学 255400 
        二次根式是对整式的扩充,是对式的进一步认识,加之其与今后要学习的指数函数、对数函数、三角函数、立体几何、解析几何及微积分等数学内容的广泛联系,二次根式中的概念、性质和加减乘除运算是中考的重点内容,为帮助同学们把握学习方向,现分类解析。
一、落实基础,考查二次根式的概念
        例1(宁波市) x-1实数范围内有意义,则x的取值范围是( )。
        A.x>1  B.x≥l  C.x<1  D.x≤1
        分析:形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式,要使二次根式有意义,被开方数必须是非负数,满足题意的字母的值就是x的取值范围。
        解:由题意得x-1≥0,即x≥l,所以选择B。
        点评:二次根式的概念,是中考基础知识考查的热点。
        例2(黄石市)若最简根式 3a与 a+2b是同类根式,则______。
        分析:由这两个根式是最简根式也是同类二次根式,又因为同类二次根式被开方数相同,根指数相同,得a+b=2,3a=a+2b,由此可建立关于a,b的方程组,再解方程组可求得的值。
        解:由题意得     ,解得   ,所以ab=1。
        点评:熟练掌握最简二次根式和同类二次根式两个概念满足的条件是解答此类题目的关键。
二、重视思维,关注二次根式性质的运用
        例3(盐城市)根式 (-3)2的值是( )。
        A.-3  B.3或-3  C.3  D.9
        分析:本题主要针对二次根式性质的考查,明确 a2=|a|此题很容易解答。
        解:易知选择C。
        点评:在二次根式性质明确的情况下,解决根式的问题不容易出错。
三、重视计算能力,灵活考查二次根式的运算
        例4(长沙市)小明的作业本上有以下四题:
        ① 16a4=4a2。
        ② 5a· 10a=5 2a。
        ③a  = a2· = a。
        ④ 3a- 2a= a,做错的题有( )。        
        A.①  B.②  C.③ D.④
        分析:本题综合考查二次根式的计算,要明确开方、二次根式加减运算以及乘除运算法则,因为4a2是非负数,所以 16a4= (4a2)2=4a2,因此①是正确的;按照二次根式的乘法法则计算可得②的计算过程 5a· 10a= 5a·10a= 50a2= 2·52a2=5 2a所以②是正确的;同理③也是正确的;二次根式的加减运算的实质是合并同类二次根式, 3a与 2a是最简二次根式,但是被开方数不同,所以不能合并,故④是错误的。
        解:选择D。
        点评:熟练掌握二次根式的运算法则,并且注意性质的运用是正确判断的正误的根本。
例5(资阳市)已知a=sin60°,b=cos45°,c=( )0,d=   ,从a,b,c,d这4个数中任意选取3个数求和。
        分析:本题可利用特殊角的三角函数值求得a=sin60°=  ,b=cos45°=  ,利用零指数求出c=( )0=1,化简d=   = 2-1后,如此看来最后再任意选取3个数求和就迎刃而解了。
        解:a+b+c=     (解法不唯一,其他解法请同学们自己探索答案)。
        点评:本题结合特殊角的三角函数值、零指数以及根式的化简三种运算,考查二次根式的加减运算,知识考查全面,说明中考复习不能放过任何一个细小的知识环节。
四、注重与数轴的结合,体现二次根式的几何意义
        例6(扬州市)如图,数轴上点p表示的数可能是( )。
       
        A. 7  B.- 7  C.-3.2  C.- 10
        分析:从数轴上可以看出点p在点-3和-2之间,利用平方-(-3)2<-( 7)2<-(-2)2,可以估算出点p表示的数是- 7。
解:选择B。
        点评:在数轴上准确地找出表示具体实数的点,特别是无理数的点,印证了实数与数轴上的点是一一对应的关系,另外这里还需要用到估算的知识。
五、强化探究意识,解决根式中包含的规律问题
        例7(烟台市)观察下列各式: 1+ =2  , 2+ =3  , 3+ =4  …请你将发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来______。
        分析:观察第1个等式 1+ =2  ,等号左边被开方数中的整数部分与其序数相同,分数部分的分母比其序数大2,等号右边根号外的因数比它的序数大1,被开方数的分数部分的分母比它的序数大2;同样观察第2个等式 2+ =3  ,第3个等式 3+ =4  也具有同样的规律,由此可以得出第n个等式应该是 n+  =(n+1)   (n≥1)。
解:用含自然数n(n≥1)的等式表示出来为 n+  =(n+1)    。
        点评:此类问题的解题思路是从已知的式子出发,通过观察、分析、归纳、猜想出规律,然后再对所得的结论进行论证。

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