指数函数的图象及其性质教学设计的几点做法

发表时间:2012-5-15   来源:《中小学教育》2012年6月总第101期供稿   作者:吕 华
[导读] 函数始终是高中数学教学的主线,函数内容是学生学习上的一个难点。
吕 华 山东省平度市第九中学 266700
        一、设计理念
        本节课是根据新课标基本理念进行设计的,针对学生的实际情况,激发学生的学习热情,把学习的主动权交给学生,在课堂活动中通过小组合作、自主探究的形式,培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。
        二、学习目标与重难点
        1.使学生了解指数函数模型的实际背景,认识数学与现实生活及其他学科的联系。
        2.理解指数函数的的概念和意义,能画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性和特殊点。
        三、教学过程:
        1.创设情景、提出问题
        某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个 ……
        ①如果这种细胞经过x(x∈N*)次分裂,可以得到细胞数为y,列出 x与y的函数解析式。②经过10次、20次、50次分裂后,细胞数是多少?(可利用电脑计算)
        设计意图:用一个学生比较熟悉的实例,为引出指数函数的概念做准备;同时让学生感受到指数函数的爆炸增长,激发学生学习新知的兴趣和欲望。
        2.自主学习,合作探究
        把学生分为四个大组,每一大组再分为若干合作小组(建议4人一小组),组内分别讨论以上两个问题,然后组与组之间进行交流,达成共识。
        师:在本章开头的问题2中,也有一个与y=2x(x∈N*)类似的关系式y=1.073x(x∈N*,x≤20)
        (1)让学生思考讨论以下问题(问题逐个给出)
        ①y=2x(x∈N*)和y=1.073x(x∈N*,x≤20)这两个解析式有什么共同特征?②它们能否构成函数?是我们学过的哪个函数?如果不是,你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字?
        设计意图:引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型。学生对比已经学过一次函数、反比例函数、二次函数,发现y=2x,y=1.073x是一个新的函数模型,再让学生给这个新的函数命名,由此激发学生的学习兴趣。
        指数函数的定义:引导学生观察,两个函数中,底数是常数,指数是自变量。
        师:如果可以用字母a代替其中的底数,那么上述两式就可以表示成y=ax的形式。自变量在指数位置,所以我们把它称作指数函数。
        (2)让学生讨论并给出指数函数的定义
        学情预设: ①若学生从教科书中已经看到指数函数的定义,教师可以问,为什么要求a>0;且a≠1;a=1为什么不行?②若学生只给出y=ax,教师可以引导学生通过类比一次函数(y=kx+b,k≠0)、反比例函数(y= ,k≠0)、二次函数(y=ax2+bx+c,a≠0)中的限制条件, 思考指数函数中底数的限制条件。  
        对于底数的分类,可将问题分解为:
        ①若a>0会有什么问题?(提示学生思考)
        生:如a=-4,x= 则在实数范围内相应的函数值不存在。②若a=0会有什么问题?
        生:对于x≤0,ax都无意义。

③若a=1又会怎么样?
        生:1x无论x取何值,它总是1,对它没有研究的必要。
        师:为避免上述情况的发生,所以规定a>0且a≠1。
        设计意图 :对指数函数中底数限制条件的讨论可以引导学生研究一个函数应注意它的实际意义和研究价值;讨论出a>0,且a≠1,也为下面研究性质时对底数的分类做准备。
        巩固练习:判断下列函数是否是指数函数
        (1)y=2×3x;(2)y=32x;(3)y=-2x。
        学情预设:学生可能只是关注指数是否是变量,而不考虑其它的。
        设计意图 :加深学生对指数函数定义的理解。
        3.指数函数性质
        师:当我们学习了指数函数的定义之后,紧接着需要探讨什么问题?
        生:指数函数的图象和性质
        师:你能类比初中学习的一次函数、二次函数的思路,提出研究指数函数图象和性质的方法吗?
        生:先画图像,再根据图像得出性质。
        师:如何画出指数函数的图象?
        生:利用描点法。
        师:用描点法画函数的图象的步骤是什么?
        生:列表、描点、连线。
        师:用描点法画出函数y=2x的图象。
        学生画图,教师巡视。待多数学生画完图后,在多媒体上展示一学生的图象,并给予点评。让学生对底数进行分类,引导学生思考哪个量决定着指数函数的单调性,以什么为分界,教师通过几何画板中改变参数a的值,追踪y=ax的图象,在变化过程中,让全体学生进一步观察指数函数的变化规律。
        设计意图:注重引导学生用特殊到一般的方法探究指数函数图象的形成过程,加深感性认识。要借助计算机辅助教学作用,增强学生的直观感受。对指数函数的底数进行分类是本课的一个难点,让学生在讨论中自己解决分类问题,使该难点的突破显得自然。
        4.巩固训练,提升总结
        (1)已知指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点(3,π),求f(0),f(1),f(-3)的值。
设计意图:加深学生对指数函数定义的理解。让学生明确底数是确定指数函数的要素,向学生渗透方程思想。
        (2)巩固练习:①在同一平面直角坐标系中画出y=3x和y=( )x的大致图象,并说出这两个函数的性质。②求下列函数的定义域:①y=2 x-2,②y=( ) 。
        5.归纳小结,巩固新知
        通过本节课的学习,对指数函数有什么认识和收获?
        (1)议一议:①怎样的函数称为指数函数?②指数函数的图象形状与底数有什么样的关系?③指数函数有怎样的性质?
        (2)图象特征:①图象都在x轴上方,向y轴正方向无限延伸;②都过(0,1)点;③当a>1时,图象沿x轴正向逐步上升;当0<a<1时,图象沿x轴正向逐步下降。
        四、教学反思
        函数始终是高中数学教学的主线,函数内容是学生学习上的一个难点。本节课的教学设计能通过实例,渗透数学方法和思想,注重学生探究学习的过程,突出教师的指导和学生自主探究、合作交流的学习理念,使学生对概念的产生、图象的形成过程有了较深入的理解。通过对指数函数的图象和性质的研究,对底数a的分类讨论,以达到突破难点的目的。
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