金鑫
中国人民大学附属中学朝阳学校
【理论依据】
APOS理论是由美国学者杜宾斯基等人提出的针对数学概念教学的理论，认为学生在学习数学概念的时候要经历4个阶段，操作阶段，过程阶段，对象阶段，图示阶段.研究表明许多高中生只达到了前两个阶段，因此在复习课时，教师需要注重培养学生后两个阶段的养成．对象阶段指的是学生能够用抽象的数学符号表达出数学概念，使数学概念成为一个数学对象；图示阶段指的是学生能够写出概念的特例，概念的抽象过程，用符号表达概念等．这两个阶段都是需要学生对概念有了基本认识的基础上才能完成．APOS理论对“三角函数复习课中强化数形结合思想教学研究”起到了指导性的作用.
数学问题的分类借鉴了当代美国教育学者David H.Jonassen的研究成果.他认为，问题大致可以分成三类：谜问题、良构问题和劣构问题．这三类问题并不具有明确的分类界限 ,它们是一个从非情境化的问题、解决方法同一的问题到情境化的具有多种解决方法的问题．谜问题遇到的不多.良构问题是指限定性条件的问题，它具有明确的已知条件，并在已知条件范围内运用若干规则和原理来获得同一性的解决方法．劣构问题是在某一方面没有特别的界定，问题的描述含混不清或模棱两可，或者问题的陈述中缺少解决问题的关键性信息．劣构问题的特点是具有多种解决方法、解决途径和少量确定性的条件．这些条件不仅不易操作，而且包括某些不确定性因素，如哪些概念、规则和原理对求解方法是必要的，如何将它们组织起来，哪种解决方法最为合适等等．
劣构性问题可以分为结论确定，条件开放型；条件确定，结论开放型；条件开放，结论开放型．笔者主要以最后一种类型进行实例分析，从而寻找劣构性问题的解题策略.
【实例分析】
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策略分析：该题是任意选取两个条件，求函数解析式，属于“劣构题”中最简单的一类．因为条件之间不存在逻辑间的冲突，所以解题时只需要选择自己擅长的两个条件进行作答即可．
变式1：
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从图象上明显发现如果选择条件①②与f(x)单调递增矛盾，所以①②不能共存；如果选择条件①③可以得到函数周期，与题设矛盾．所以只能选择条件②③求函数解析式．
策略分析：该问题不是任意选取两个条件，而是需要将3个条件进行筛选，筛除2对无法共存的条件，然后求函数解析式，属于“劣构题”中较为复杂的一类.通过探索过程，得到如下解题策略：
策略1：逐一验证；
策略2：分析后，找到有矛盾的条件，除去后再进行解答，从而简化讨论．
变式2：
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分析：理解“有且仅有”的含义，区别于前面变式1中“满足三个条件中的两个条件”.“满足三个条件中的两个条件”，只需要保证“有两个条件成立即可，不需要验证第3个条件是否成立”，而“有且仅有”必须保证有2个条件成立，同时第3个条件一定不成立.所以这个问题条件之间的逻辑更加复杂了.可以采取“数”的方法，写出的所有表达式，即可解决问题.
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从上述①②③中选取两个作为条件，另一个作为结论，写出一个你认为正确的命题．
策略分析：条件间的逻辑关联越来越复杂.通过研究发现存在函数使得这三个条件共存，也存在函数只能保证其中两个条件共存，而有这样结果的原因是条件①②可以推出③，条件②③可推出①，但条件①③不能推出②，为了更好的把握住本质，在的情形下，引入上述变式.
【策略总结】
策略一：对于题目中的条件逻辑关系比较简单，条件可以任意选取的问题，可以选择自己擅长的条件进行求解；
策略二：对于题目中的条件逻辑关系比较复杂，条件无法任意选取的问题，可以逐一选取进行验证，从而解决问题.但这种方法，有时会进行一些没必要的讨论，问题解决起来有些麻烦；
策略三：对于题目中的条件逻辑关系比较复杂，条件无法任意选取的问题，可以先对各个条件进行分析，从而找到有矛盾的条件，除去后再进行解答，从而简化讨论。