张淑梅
湖南省长沙市长郡滨江中学 湖南省长沙市 410000
摘要：圆锥曲线的定值问题求解，是圆锥曲线章节的重点与难点内容之一，也是历年高考数学的主要考点。探究圆锥曲线的定值问题解决方法，可以帮助学生在思维、理解、认知上重新审视圆锥曲线的特性与内涵，并能够按照科学的思维方式与有效解答途径来应对圆锥曲线知识领域的各类问题，既完善了学生的认知构架，又激活了学生的数学思维。以达到化简了圆锥曲线问题的解决难度，拓宽了学生的认知路径的目的，使圆锥曲线问题的解决更加深入、充分、高效、精准。
关键词：圆锥曲线；定值问题；求解；探究
实现图形问题代数化，是解析几何的核心、难点，而圆锥曲线中定值的求解，也应该以最基本的几何图形为切入点，并在几何图形与方程、函数之间找到对应关系，以代数的方式获得对于几何问题的解答。同时，由于圆锥曲线问题中涉及的几何思想、方法比较丰富多元，同一问题也对应着不同的解决途径。因此，教师在指引学生解答圆锥曲线问题时，应该从最基本的概念分析、方法指导、训练巩固入手，在教学中引入多元且丰富的圆锥曲线问题，并带动学生开展分析与探索，对所学的公式、方法、思想进行灵活应用与深入渗透，用数的性质来揭示形的特性，帮助学生在数与形之间建立对应关系，使学生对数学语言、几何图形、代数思想获得深入理解，为实现对圆锥曲线定值问题的有效解答而提供帮助。而且，随着学生对圆锥曲线定值求解方法理解、应用的深入，其在数学思想、认知能力、综合素养上也会得到切实提升，更利于学生认知夙愿的释放与发展需要的满足。
一、利用代入消元思想，将圆锥曲线定值问题转化为二次方程
韦达定理是圆锥曲线定值问题求解中应用最多的数学公式之一，其基本公式是：。其判别式是：Δ=。借此，一方面可以用来判别一元二次方程有无实数根，另一方面可以用来判别直线与圆锥曲线的关系。如果在方程中，Δ>0，则说明方程具有不相等的两个实数根，且所对应的直线与圆锥曲线相交，交点为两个；如果Δ=0，则说明方程具有两个相等的实数根，且所对应的直线与圆锥曲线相切，其公共交点为一个；如果Δ<0，则说明方程无实数根，直线与圆锥曲线相离，没有交点。因此，对于一些比较简单的圆锥曲线定值问题，则可以结合所对应的方程中Δ的值来开展求证或者解答。这一方式也是圆锥曲线定值问题求解中最为简单、有效的策略之一，其适用性也很强。例如，将直线y=kx+2代入圆锥曲线后经过运算、简化，得到：，并通过整理得到：(4k2+3)x2+16kx+4=0，将直线y=k(x?1)+2代入x2+y2?6x=0，再消y整理后形成两种思路。思路一：x2+(kx?k+2)2?6x=0；思路二：x2+k2(x?1)2+22+2×2×k(x?1)?6x=0。这种直接采用带入消元的方式来解决圆锥曲线定值问题，思路更加明晰，对应的解题效果也更高。
二、借助设参消参策略，使圆锥曲线问题解答显得更直接有效
结合具体圆锥曲线问题，对其开展整体分析与研判，结合所求，抓住本质，巧妙设立未知数，但是设而不求，而是采用整体求解或者代换转化的方式，进而使具体圆锥曲线问题由繁化简，变难为易，既实现了对于学生创造、创新思维的培养，又增强了学生的问题解决、分析能力。
而且，在设参消参策略的辅助下，很多比较复杂的圆锥曲线问题也会以更为直观的形式进行呈现，更利于学生对于定值求解难点的突破。例如，针对问题：已知直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A、B两点，O为抛物线的顶点， 求证为定值。根据题意分析可以得知，证明OA⊥OB的关键是利用向量验证：x1x2+y1y2=0,或者根据斜率k1k2=-1来验证。此时，教师可以引导学生利用“设而不求”的方式，设A（x1，y1），B（x2，y2），再由OA⊥OB得出x1x2+y1y2=0，将y=x-2代入y2=2x得到x2-6x+4=0，因此可得x1x2=4,x1+x2=6，即可得y1y2=（x1-2）（x2-2）=x1x2-2（x1+x2)+4=-4,转化之后得知：x1x2+y1y2=4-4=0，进而可以证明OA⊥OB。
三、依托数形结合方法，让圆锥曲线问题解答更为直观具体化
数形结合方法的应用，可以使诸多复杂的圆锥曲线问题直观化、具体化、形象化呈现，既帮助学生突破了圆锥曲线定值问题的求解，又可以激发学生的认知潜能，更利于学生数学核心素养的塑造。因此，教师可以以不同问题中所对应的圆锥曲线题目为基础，对其科学抽象、提炼、加工，由具体问题找到辅助性几何模型，以求解圆锥曲线中所涉及的弦长等问题。但是，需要注意的是，教师在应该学生使用数形结合方法求解圆锥曲线定值时，必须做到具体问题具体分析，切忌由于脱离实际来抽象几何模型使问题条件发生改变，陷入解题误区。同时，对于题目中的既定条件、要素等均要充分关联，以杜绝凭空想象而陷入求解谬误。
四、结论
总之，定值问题的求解，本身就是解析几何的难点内容之一，也是圆锥曲线教学中必须突破的关键问题。一方面，由于圆锥曲线的定值具有很多不可预知性，以致学生在解答之前并不知道其定值结果，使得题目显得神秘且不可捉摸，解答难度自然可想而知。另一方面，由于学生思维、认知、理解的差异，导致其在圆锥曲线问题解答时，总是难以找到对应切入点，而且如果在求解方向、方法、思路上稍有偏差，便会陷入认知困境，定值求解问题势必难以突破。基于此，教师应该在教学中加强对辩证思想的渗透，引导学生学会运用辩证的观点来思考、探究、解答圆锥曲线定值问题，在动点的“变”中找寻定值的“不变”性，进而去分析题目中的隐含条件，探寻基本的解答方法与思路，在科学思维的驱动下获得认知夙愿的释放与思维潜质的激活，为圆锥曲线定值问题有效解答提供辅助。另外，教师也应该针对具体方法与思想，加强训练与巩固，以促使学生在深入、多元、丰富的训练中熟练驾驭各类求解策略，并将其灵活应用至圆锥曲线问题定值解答，实现对学生数学核心素养的深度塑造。
参考文献：
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