唐义志
湖南省道县第一中学
摘要：在近些年的立体几何试题中，逐渐出现了一类带有探究和开放性的试题，这类试题本身涉及的点带有显著的运动性和不确定性特征，使用传统的解题方式有着较大的难度。笔者在几何本人工作经历的基础上，分析当下学生解答立体几何存在性问题的状况，并在文后通过立体讲述了一些立体几何存在性问题的解答技巧，以期为今后立体几何的存在性问题教学解答提供借鉴。
关键词：立体几何；存在性问题；解答技巧
1、立体几何存在性问题解决现状
当下高中阶段的试题中，立体几何占据的比例相对较大，这类试题在学生空间思维等方面的培养上发挥了关键作用，其中又以点的存在性和位置待定的问题设置为主，问题中通常带有是否存在等字眼，以便告知学生结论有待进一步确定，在解答问题的过程中，渗透了反证法和分析法等解题思路，也是高考中的热门题目[1]。
这类问题的设置能够帮助学生进一步体会空间内直线之间、直线与平面之间、平面之间平行的位置关系，并使用相关定理有效解决在线平行中的存在性问题，。同时，学生需要将空间层面的转化为平面问题，并使用多种方式寻找结论证明所需的点、线、面。
但是，学生在具体的问题解答过程中，因其基本掌握了直线之间、直线与平面之间、平面之间平行的判定及其性质等知识，具备一定的解题思路，但解答存在性问题通常以特殊点猜想的方式为主，并未做到从深层次上意识到这个特殊点寻找的意义，再加之学生复习中忽视反证法的应用，导致在结论证明不存在的情况下，无法有效进行叙述。
2、巧妙解决立体几何存在性问题的技巧
2.1肯定性问题解答
即证明符合条件的对象一定存在,其中常见的一类是只要求证明符合条件的几何对象存在即可,对存在对象的数量并不作要求.常见的证明方法有综合法、构造法、反证法等[2]。
比如，半径为1的一球体的两边界点,可以用长度小于2的一条内弧(即含于球内的曲线)连结.证明这条弧一定属于这个球的某一半球。
如图1所示,设A,B为弧的端点,考察与∠AOB的平分线垂直的平面α.我们证明弧AB属于由平面α所分的包含A和B的半球。设A′为A关于α的对称点,则A′,O,B共线,从而A′B=2。设X是α内任一点,AX=A′X,则任意长度小于2的弧AB不含属于α的任意点X,否则,若AB包含X，则AX+XB≥AX+XB=A′X+XB,由三角不等式A′X+XB≥A′B。
图1
本题的结论可推广到任意中心对称几何体，即“若一个中心对称体的最小中心直径为2，这个体的两个边界点被一条长度小于2的弧所连结，则该弧必属于某一半体,且该半体是被一个经过体中心的平面所截得的”。
此外，设空间给出了20个点.其中某些点涂黄色,某余点涂红色。已知在任何一个平面上的同种颜色的点不会超过三个。求证:存在一个四面体，它的四个顶点同色，并且至少有一个侧面内不含另一种颜色的点。
对于本题而言，20个点染成红、黄二色，必存在四点同色。由于任一平面上同色点不会超过3个，故这四个点必为四面体的四个顶点，故存在四顶点同色的四面体且只有有限个。因此,可选其中体积最小者，这个体积最小的同色四面体即为所求。否则，它的面上若都有另一颜色的点，将产生体积更小的同色顶点四面体，导致矛盾。
2.2位置相关的存在性问题解答
如图2，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=，点E在PD上，且PE∶ED=2∶1．求证明:PA⊥平面ABCD。同时，在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC?，并进行证明。
图2
这里我们主要探讨第二个证明问题，可以使用空间向量进行解答。由(1)知PA⊥平面ABCD，以A为原点，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，过A点且垂直于面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系，可知x轴垂直平分BC．则
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2.3距离探索问题的解答
如图3，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝
，∠CDA＝45°。
求证：平面PAB⊥平面PAD，假设AB＝AP。若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长。
图3
从题目中的四棱锥能够找到三条两两垂直的棱，因此，可考虑建立空间直角坐标系，利用向量表示相关元素，然后利用向量的运算求解结论[3]。
因为PA⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD．又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD。
以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A—ｘｙｚ（如图4所示）。
图4
在平面ABCD内，作CE／／AB交AD于点E，则CE⊥AD．在Rt△CDE中，DE=CD·cos45°＝1，CE=CD·sin45°＝1，设AB＝AP＝ｔ，则B（ｔ，0，0），P（0，0，ｔ）．由AB＋AD＝4，得AD＝4－ｔ，所以E（0，3-t，0），C（1，3－ｔ，0），D（0，4－ｔ，0），向量CD＝（-1，1，0），向量PD＝（0，4－ｔ，－ｔ）。
假设平面PCD的法向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ），由ｎ⊥CD向量，ｎ⊥PD向量，得出－ｘ＋ｙ＝0，（4－ｔ）y-ｔｘ＝0。取ｘ=ｔ，得平面PCD的一个法向量ｎ＝｛t，t，4-t｝。又PB向量＝（t，0，-t），故由直线PB与平面PCD所成的角为30°，
。
3、总结
立体几何作为近些年高考的热门题目之一，着重考查学生的空间思维、空间问题转化为平面问题的能力，其中的开放性、存在性问题，很好的考察了学生这些能力。但学生在解答的时候，思路不清晰，忽视特殊点寻找的深层意义，导致解答步骤不完善。笔者探讨了肯定解答技巧的应用，此外，也从向量这一知识点的入手，借助例题，在利用坐标系的前提下，将抽象问题具体化，几何问题的代数转化，在降低学生抽象思维思考难度的同时，能够帮助学生有效地解决立体几何的存在性问题。
参考文献
[1]蔡正伟.立体几何中的翻折探究问题[J].新世纪智能,2021(Z6):85-86.
[2]臧书华.知其然,知其所以然——以立体几何问题为例谈思路寻找[J].高中数理化,2020(24):2.
[3]张卫兵.这样解答立体几何中的存在性问题[J].高中生,2017(36):54.