解决函数零点问题初探

发表时间:2021/3/30   来源:《教育学文摘》2020年第35期   作者:丁国文
[导读] 复合函数的研究对学生思维能力的培养起着至关重要的作用,如何开拓学生的思维领地
        丁国文
        新疆博乐第七中学,新疆 博乐 833400
        摘要:复合函数的研究对学生思维能力的培养起着至关重要的作用,如何开拓学生的思维领地,培养学生探究思维能力是复合函数教学过程中十分重要的研究课题,通过一道关于零点问题的复合函数的多种解法旨在拓展思路,渗透数学思想,提高思维能力。
        关键字:复合函数、思维、数学思想
        首先给出函数零点定义:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。因此,函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标。从而有
        方程y=f(x)=0有实数根
        函数y=f(x)的图像与x轴有交点
        函数y=f(x)有零点。
        其次给出函数零点判定定理(函数存在性定理)
        一般地,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且f(a)f(b)<0,那么函数函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。
        下面探讨两道高考题目:
        例题1:已知函数.
       
        点评:应用函数单调性、二阶导数的知识进行证明不等式。(2)对函数进行求二阶导数,然后分、分情况进行讨论零点的个数,根据零点个数进而确定值大小。
        例2:已知函数f(x)=ln(x+a)-x(aR),直线l:是曲线y=f(x)的一条切线。
        (1)求a的值。
        (2)设函数g(x)=xex-2x-f(x-a)-a+2,证明:函数g(x)无零点。
        解(1):由题意知,,假如切点横坐标为x,则就有:,
        ,解得a的值为1.     
        点评:根据切点可以求出切线的斜率,同时切点也是函数所在的直线和切线的公共点。
        (2)由题意知:g(x)=xex-lnx-x(x>0)
        根据函数g(x)得到它的导函数为进而可以得到二阶导函数,根据x的取值可以得到>0,进而判断(x)在定义域内单调递增,当x时,(x),当x=1时,(x)>0,所以存在c(0,1)内有(c)=0,当x(0,c)时,(x)<0,g(x)在(0,c)内单调递减。当x(c,1)时,(x)>0,g(x)在(c,1)内单调递增,当x=c时,g(c)min=cec-lnc-c>0,所以函数g(x)无零点。
        点评:根据导数判断函数单调性,然后得到极大值或者极小值,进而判断零点个数。然后根据y=g(x)min>0或者y=g(x)max<0判断零点个数。
        零点问题是近年来高考常考的高频考点,需利用导函数的知识求解,解题过程中与函数单调性结合比较紧密,研究过程中,一个很重要的思路:常常将它转化为求函数极大值和极小值的问题。经过两道高考试题加以深入剖析以后,我们会得到不同的解题思路和解题方法,从而得到解决这种零点问题的一般思路和规律,思路得到优化,解题过程简洁明了。
参考文献:
        [1]童其林.零点定义及零点定理的运用[J].中学数学杂志:高中版,2012,(6):28-31.
        [2]陈辉.二次函数零点问题新解[J].中学课程辅导(教学研究),2017,11(13):104-105.
       
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