李丹
东北师大附中明珠校区数学组130000
【授课核心内容】
课题：华东师大版数学八年级上册阅读材料勾股定理的无字证明
无字证明（proof without words）是指仅用图像而无需文字解释就能不证自明的数学命题.由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.无字证明通常只是用图像来说明一个证明中的特例，因而需要推广才能构成完整的证明.
【实施方法】
通过勾股定理证明方法的收集与解读，感知无字证明的直观、简洁的优点，再通过代数恒等式的图形验证示例，为学生构造无字证明奠定基础，最后引导学生设计图形完成数列求和公式的无字证明.
【教学目标】
1.知识与技能：
（1）通过理解勾股定理的证明，理解无字证明的意义.
（2）能识别图形所验证的数学规律或公式，从另一个侧面体会无字证明的应用.
（3）掌握数形结合的基本思想方法.
2.过程与方法：
通过实践活动，使学生体会数形结合的美妙，体验数学的美.
3.情感态度与价值观：
通过对无字证明的探究，增强几何识图能力与构图能力，培养学生喜欢数学的兴趣与信心，使学生感受到数学的独特魅力，从而喜欢学习数学.
【教学重点】利用面积的不同表示方法构造图形，验证代数恒等式.
【教学难点】构造图形验证代数恒等式.
【教学方法】探究、实验、归纳、应用.
【教学创新点】借助数形结合的思想，完成对学生未知的数列求和公式的验证.
【教学过程设计】
一、引入课题
1.勾股定理，国外叫“毕达哥拉斯定理”，我国的台湾叫“商高定理”，它是人类最伟大的科学发现之一，被誉为“几何学的基石”，它是历史上第一个数形结合的定理.勾股定理有几百种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一，课前老师收集了同学们通过查找材料，绘制的勾股定理的证明方法图，发现同学们都完成的非常用心，时间有限，老师仅从中选择了两幅绘图比较精美的作品，请这两名同学来与大家分享一下，你所绘制的图形用了什么样的想法证明了勾股定理，其他作品我们可以在课下请同学们互相交流分享，下面首先有请××同学.
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【设计意图】学生课前收集整理勾股定理的证明方法，能加深对勾股定理的理解，通过绘图，能对图形结构有更深的把握，对定理证明过程采用的数形结合的思想有初步的感知、认识，达到自主实践探究的目的，引出本节课的内容“无字证明”.
2. 感谢这两名同学简明扼要的汇报了两种证明方法的思路，我们发现勾股定理的很多证明方法都用到了用两种方式表达同一个图形面积，从而验证了代数恒等式。这就是无字证明的典型范例，它很好的利用了几何直观来验证代数恒等式，这也充分的体现了数形结合思想解决问题的优越性。那究竟什么是“无字证明”呢？
这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”，“无字证明”是数形结合的精髓，能实现图说一体，不证自明.
这种验证方法我们在前面的整式乘法学习中也遇到过，如下图，同学们能快速识别出图形所要验证的代数恒等式吗？
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【设计意图】通过简单无字证明的识别，进一步使学生领会“无字证明”的核心想法：用两种不同表达形式表达同一件事，这里更多的是表达面积，从而来验证代数恒等式，为下面学生独立应用这种想法实践探究做好方法指引.
二、探索操作
1. 前面的这些无字证明案例，使用的都是用两种方式表达同一个图形的面积，从而证明出代数恒等式的想法，下面，我们一起尝试利用无字证明的方式研究几个常见的稍有难度的代数恒等式。为方便同学们构图，老师为大家准备了格子图及点阵图，格子图方便构造和计算面积，点阵图方便清点和计算点的数量，这样同学们在构造图形证明代数恒等式的时候可以选择性的使用，当然，也可以用背面的白纸构图，大家准备好迎接挑战了吗？
【小组活动1】
请同学们尝试用构图来证明下面的代数恒等式，然后我们再汇总方法，看看哪些小组能够成功完成挑战！
【设计意图】学生经历了前面的识图，过渡到能独立构图，这是学以致用，提升数学核心素养的重要环节，有利于培养学生的创新思维，发展学生数形结合思想的灵活运用，进一步感知无字证明的精髓.
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2. 经过上一轮的实践摸索，相信同学们已经有了一定的构图经验，几位同学分享的那些奇妙的构图办法为我们打开了智慧的大门，让我们带着这些智慧的结晶，试试迎接新一轮的挑战！
【小组活动2】
构图证明从1开始的连续奇数数列求和公式.
【设计意图】第一轮的探索操作，学生完成的会比较吃力，难度较大，方法也比较多样、新颖，所以趁学生有研究热情的时候，选择一个既类似，又更有难度的公式，推动学生的思维再上一个台阶，也强化了无字证明这个方法的使用.
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【小结】无字证明通常只是用图形来说明一个证明中的特例，因而需要推广才能构成完整的证明，不过这完全不影响图形所传递出来的证明思想，所以数学家们对这种证明方式非常痴迷.
三、拓展提高
【小组活动3】
经历了前面的探索实践，我们已经领略了“图说一体，不证自明”的美妙与神奇，这种数形结合的思想不仅仅可以应用于证明，我们甚至可以用它来解决数学问题.
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我们还没有学习过数列求和的办法，我们甚至没有接触过这种无穷数列求和，但我们现在有了几何构图这个神奇的工具，同学们，你们可以尝试着通过构图，猜想这个问题的答案吗？
【设计意图】数形结合不仅仅只是用来证明，这种思想方法能把抽象复杂的代数问题赋予几何直观，从而巧妙的解决问题，为学生以后学习数学提供了一种手段，开拓了学生的思维方式。
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【总结】数形结合使数学变得更简洁、更直观，我国著名数学家华罗庚曾这样评价数形结合“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休！”希望同学们在以后的学习中，能灵活运用这个方法，使数学学习变得生动、直观、美妙，充满魅力！
板书设计
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