王颖
北京市通州区张家湾镇中心小学，北京 100871
摘要：2011版《全日制义务教育数学课程标准》将数感作为儿童数学能力发展的核心素养，其重要性可见一斑。本研究首先指出数感与数量表征的关系，认为数感的培养建立在数量表征的基础上，小学低段儿童数感的建立与培养离不开其数量表征的发展。其次，通过大量的文献分析，说明小学低段儿童数量表征的机制；最后，结合《100以内数的认识》的教学，提出促进儿童数量表征发展的具体教学策略。
关键词：数感；数量表征；非符号数量表征；符号数量表征
一、数感与数量表征的关系
“数感”（number sense）是一系列与数学问题解决相关的外显行为能力的总称。但它究竟包含了哪些成分，国内外学者们却没有统一的标准。[ [J]潘星宇;俞清怡;苏彦捷.从数感看儿童数表征的发展.华东师范大学学报（教育科学版）,2009(4)]
我国2011版《全日制义务教育数学课程标准》将数感作为儿童数学能力发展的核心素养，并提出“数感” 主要表现在：“理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。”这些标准从数学能力角度将数感分为了几个维度：一是对于数字意义的理解；二是对于数字赋予合适的数量表征；三是在不同的数字表征符号间的灵活转换；四是策略的使用。[ [J]潘星宇;俞清怡;苏彦捷.从数感看儿童数表征的发展.华东师范大学学报（教育科学版）,2009(4)]
国外学者Jordan[ Jordan,N.C.,Blanteno,L.M.,&Uberti,H.Z. Mathematical thinking and learning disabilities.In A. Baroody & A. Dowker, The development of arithmetic concepts and skills:Recent research and theory(pp.359-383).Mahwah,NJ:Erlbaum.2003]等人将“数感”分解为五种成份的数学能力结构：计数（counting），数字知识（number knowledge）、数字转化（number transformation）、估计（estimation），以及数字规律(number patterns)。
对于这一系列外显行为是否拥有共同的心理基础？国内学者潘星宇[ [J]潘星宇;俞清怡;苏彦捷.从数感看儿童数表征的发展.华东师范大学学报（教育科学版）,2009(4)]等人认为数表征的研究为这一困惑提供了答案。他们认为无论“数感”表现为何种外显能力，它们的心理基础为：对数字系统和数量关系的理解，也就是数量表征。并指出两者之间的表里关系：“数量表征”是“数感”的心理基础；“数感”是“数量表征”在某个特定任务情境下的具体行为表现。
站在前人研究的肩膀上，本文认为数感的培养建立在数量表征的基础上，数感的建立与培养离不开数量表征的发展。
二、小学低段儿童数量表征的机制
数量表征有两方面含义，从静态的角度分析，它是指主体理解数量概念及其关系的概念
系统；从动态的角度分析，数量表征是指个体头脑内部对数量刺激的解释、表达与操作过程。其中，儿童对由视觉、听觉等呈现的实物或实物记号的数量刺激进行表达和运算的过程称为非符号数量表征；而依赖于符号知识对数字和数词等形式的数量进行表征，则称为符号数量表征。[ [J]陈英和.儿童数量表征与数概念的发展特点及机制.心理发展与教育,2015（31）]
儿童数量表征随着个体年龄的增长趋于成熟，具体分为四个发展阶段：（1）最初形成
非符号数量表征；（2）将非符号数量表征与符号数量表征建立联系；（3）扩展整数表征的范围；（4）精确地表征有理数的大小。[ [J]柳笛,杨纯.儿童数量表征研究评述.华东师范大学学报教育科学版,2017(5)]
小学低段数学关于数的认识学习，主要是万以内整数的认识。不同版本的教材对于这部分内容的安排却是一致的，具体安排如图1所示。按照以上发展阶段划分，该阶段的儿童对于数量表征的对应的发展目标应是第（2）和（3）点，也即将非符号数量表征与符号表征建立联系、扩展整数表征的范围。
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图1 小学阶段关于“整数的认识”时间和内容的安排
1.从非符号数量表征到符号数量表征
个体早期发展的非符号数量表征知识，对以后符号数量表征知识(如，口头表达“8”和阿拉伯数字“8”)的学习起到潜移默化地影响。基于这一推论，法国学者Dehaene(2008)提出假说：个体在学习数字符号的时候，只是把阿拉伯数字的字形与对应的数量建立联系。该假说为个体在理解数字符号系统上的差异，提供了一种合理的解释，即非符号数量表征能够促进符号数量表征的发展(Halberda, Mazzocco, & Feigenson，2008)。法国Piazza研究团队(2007)采用功能性磁共振成像技术(fMRI)为该推断提供了佐证，即发现非符号数量任务和符号数量任务共同激活人脑顶叶和前额叶皮层的神经元群体。也就是说，人脑在处理非符号与符号数量任务的加工区域存在重叠。
然而，也有研究（Bulthé et al., 2014；Halberda，Ly，Wilmer, Naiman, & Germine，2012；Dewind & Brannon，2012）指出两者之间关系较为复杂，甚至无关。但是目前最重要的是考察非符号数量表征是如何帮助儿童理解大数量的符号表征的。比如，即使个体不能准确辨别50个点阵与51个点阵，但他只要掌握了十进制就知道“51”比“50”大。[ [J]柳笛,杨纯.儿童数量表征研究评述.华东师范大学学报教育科学版,2017(5)]
2.从小数量到大数量的符号数量表征
学习数量大小是一个缓慢、渐进的过程。对儿童来说，能准确从1数到10，并且知道后面的数字比前面的数字大，这并非一蹴而就的过程。即使经过一年的学习，儿童能正确地从1数到10，但其对10以内各数大小的认识仍比较有限(Le Corre & Carey，2007)。
美国儿童数量认知科学研究的代表性人物Siegler以及众多国外学者都采用数字线估计任务，来描摹儿童从小数量到大数量的符号数量表征发展趋势。典型的数字线估计任务是呈现一条线段，线段左端标0，右端标10(100或1000)，被试根据出示的数字在线段上标注其相应的位置。
国内学者徐华[ [J]徐华,陈英和.儿童数字线估计研究的述评与前瞻.心理研究,5(5),46-20]等人通过大量关于数量估计的研究，指出儿童线性数量表征的形成受两种因素的影响：一是与数学认知能力相关的因素；二是与认知加工相关的因素。与数学认知能力相关的因素主要包括数值范围、数数能力和比例知识。数数能力、数概念水平显著影响儿童数量表征的模式和准确性，数数能力越高、数概念水平越高，被试数量表征越准确，越倾向形成线性数量表征。这说明数字语言的习得对线性数量表征的形成具有促进作用。而与认知加工相关的因素主要包括空间能力、工作记忆、反馈和锚定等。
三、促进数量表征发展的教学策略
儿童数量表征呈现出不同的发展阶段，总体而言，随着个体年龄的增长，儿童数量表征不断趋于成熟。研究表明，数学活动经验(Butterworth，2010)，认知加工能力(如空间能力、工作记忆、反馈等)(Geary et al., 2007)等因素会影响儿童数量表征的发展。因此，对儿童数量表征的教育干预就显得尤为重要。下面，本文以《认识100以内的数》中的一些教学环节为例具体谈谈教学策略。
1.丰富数学活动经验，激活非符号数量表征
在教学中，为学生提供多种学具。包括小棒、小方块、计数器等。（见图2）其中最主要的是小方块，通过数小方块，学生能理解数的量性特征。同时将小方块学具可以通过拼插实现结构化、抽象化，通过这种直观学具的有层次的变化促进学生掌握数的内部结构，构建100以内数的模型，从而有效的帮助学生完成从“量”到“数”的转化，感悟计数单位的十进关系。（见图3）
图2 丰富的学具
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图3 从量到数的转化
2.精细加工，有效结合，深入理解数概念
数概念水平显著影响儿童数量表征的模式和准确性。《100以内数的认识》这节课将认数范围由20以内扩展到100以内，是认数教学的第二个阶段。是在学生初步认识“十”的基础上，进一步去运用“十”计数，进一步感知、理解“十进制”“位值制”两个基本概念。这个阶段的数概念不仅是学习100以内数的计算基础，也是认识更大的自然数的基础。
在教学中，应十分注重联结不同层次学具之间的关系,帮助学生在抽象的过程中深化对数概念的理解。以揭示“十”在计数中的作用为例，教学利用不同的非符号数量表征，勾连它们的共同作用，在丰富的表征联结中，深入理解“十进制”的概念。（见图4）
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图4 联结不同非数量表征的关系