夏忠文
浙江省文成中学 浙江省 温州市 325300
摘要：相比初中数学，高中数学已不再是进行简单的代数学习和平面几何学习，而是上升到对空间图形结构的认识，这也是很多学生认为高中数学难学的原因之一。面临这一新增学习项目，如何在传授例题几何知识的同时，帮助学生掌握更多解题技巧，是老师们需要认真思考的问题。下面本文将对关于高中数学立体几何解题技巧问题进行探究。
关键词：高中数学；立体几何；解题技巧
引言：立体几何是三维欧氏空间几何的传统名称，虽然我们本身就生活在三维空间里，但对空间的概念和特征却认识的不是很透彻，所以在学习时，立体几何被设置在平面几何之后，从知识吸收与理解的角度看，这样循序渐进的学习方式更有利于学生去理解空间图形。从空间图形形状来看，高中立体几何所包含的内容主要有：圆柱，圆锥，锥台，球，棱柱等。结合具体教学内容，我们对立体几何基本定理做了如下总结：
垂直平行是重点，证明须弄清概念；
线线线面和面面、三对之间循环现；
点线面三位一体，柱锥台球为代表；
距离都从点出发，角度皆为线线成；
方程思想整体求，化归意识动割补；
计算之前须证明，画好移出的图形；
立体几何辅助线，常用垂线和平面；
射影概念很重要，对于解题最关键；
异面直线二面角，体积射影公式活；
公理性质三垂线，解决问题一大片。
一、空间角的计算方法与技巧
解此类题主要有以下三个步骤，即一作、二证、三算；如果用向量进行解决，步骤为一证、二算。空间角计算分为三种情况，即两条异面直线间夹角；直线和平面所成夹角；二面角。第一种情况所采用的方法主要有：平移法、补形法、向量法；第二种情况所采用的方法主要有：作出直线和平面所成的角，找射影转化到同一三角形中进行计算，或用向量进行计算，以及用公式计算；第三种情况所采用的方法主要有：平面角的作法，包括定义法、三垂线定理及其逆定理法、垂面法，还有就是平面角的计算法，包括找到平面角，然后在三角形中计算（解三角形）或用向量计算、射影面积法、向量夹角公式。
例题：在正方形ABCD - A1B2C3D4中，F是BC的中点，点E1在C1D1上，且D1E1=1/4D1C1，求直线E1F和平面D1AC所成角的大小。
此题属于空间角计算的第二种情况，即直线和平面所成夹角。分析题设，采用向量进行求解比较容易，方法是，通过求直线和方向向量和平面的法向量的夹角α，进而求出直线和平面所成角β，即β=π/2 - α，或者β=α- π/2
二、空间距离的计算方法与技巧
空间距离计算分为三种情况，分别是：点到直线的距离、两条异面直线间距离、点到平面的距离。对于第一种，我们会应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中求解，也可以借助于面积相等求出点到直线的距离；对于第二种，一般先找出其公垂线，然后求其公垂线段的长，在不能直接作出公垂线的情况下，可转化为线面距离求解；对于第三种，一般找出（或作出）过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算；也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离；有时直接利用已知点求距离比较困难时，我们可以把点到平面的距离转化为直线到平面的距离，从而“转移”到另一点上去求“点到平面的距离”。求直线与平面的距离及平面与平面的距离一般均转化为点到平面的距离来求解。
例题：如图，正三棱柱ABC - A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。求证：AB1⊥平面A1BD。
首先我们要取BC中点O，并连接AO，因为△ABC为正三角形，所以AO自然垂直于BC。又因为是ABC - A1B1C1是正三棱柱，所以AO也是垂直于BCC1B1的，此时连接B1O，因为O与D分别是BC和CC1的中点，所以B1O是垂直于BD的，而AB1也是垂直于BD的，那么在正方形ABB1A1中，AB1是垂直于A1B的，所以AB1垂直平面A1BD。
结束语：
关于高中立体几何解题技巧，与其说是技巧，倒不如说是经过反复练习而总结出的解题规律，但无论怎样，都需要学生熟练掌握各种立体图形的基本性质、定理、公式。在具体解题中，首先要弄清楚图形是什么几何体，是规则的、不规则的，还是组合体；然后弄清楚几何体结构特征，分析出面面、线面、线线之间具有哪些关系，如平行、垂直或相等；再然后留意题设中哪些面是相互垂直的、哪些线面是垂直的、哪些线是平行的、哪些线面是平行等，这也印证了最开始那句话：“垂直平行是重点，证明须弄清概念”。
参考文献：
[1]石睿荣. 浅谈高中数学立体几何解题技巧探析[A]. 教育部基础教育课程改革研究中心.2020年基础教育发展研究高峰论坛论文集[C].教育部基础教育课程改革研究中心:教育部基础教育课程改革研究中心,2020:3.
[2]李易民.高中数学中的立体几何解题技巧分析[J].数学大世界(下旬),2020(07):10.