柯爱武
湖北省黄石市教育科学研究院
摘要
模型的建构是建立在丰富的数学经验积累与数学理解之上的，构建数学模型,要重视学生已有的经验,为学生提供丰富多彩的感性学习材料,运用比较、分析、抽象、概括等方法,把实际生活问题抽象成数学问题,将实际问题数学化，从而提炼出数学思想方法,建立模型,并利用数学模型解决问题。
关键词 模型思想 构建 图形直观
前言
“模型思想”是《义务教育数学课程标准（2011版）》明确提出的十大核心素养之一，《数学课程标准》指出：“从学生已有的经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象为数学模型并进行解释与应用，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。”因此，让学生在活动中经历数学模型的构建过程就是数学化的过程，其价值取向并非简单地教授模型、记忆模型，而是让学生学会寻找关系、观察关系及其变化，并学会发现规律、总结规律、运用规律。
于小学生而言，数学学习的过程，更多的是经历、体验、探索数学知识的形成过程，是在积累丰富的数学学习经验的基础上，习得数学学习技能与方法的过程，同样，模型思想的发展也不例外。模型的建构是建立在丰富的数学经验积累与数学理解之上的，只有这样，才能为学生真正把握模型内涵、数学本质奠定了坚实的基础。
《乘法分配律》是人教版四年级下册第三单元“运算定律与简便计算”的内容，属于“数与代数”领域。这节课是本单元的教学重点，学习这部分教学内容有利于提高学生的观察能力、比较能力和概括能力。同时，学好乘法分配律是学生以后进行简便计算的前提和依据，对提高学生的计算能力有着重要的作用。就学生而言，乘法分配律虽说是四年级的学习内容，但在二年级学习乘法时，教材就开始渗透乘法分配律的内涵了。如12×3，将12分成10和2，分别计算10和2与3相乘的积，然后再把它们的积加起来；三年级用点子图探索一位数乘两位数或三位数、两位数乘两位数的计算方法的过程，实际上也是不断借助图形直观，体会基于乘法分配律的计算道理。
在《乘法分配律》的常规教学中出现了一些困惑：学生容易听懂，但不会灵活运用，属于一听就懂，一动就错的类型，而且容易和乘法结合律混淆，反复练习效果也不怎么好。究其原因：一是学生只会机械模仿，对于（a+b）×c为什么等于a×c+b×c，没有深入理解；二是运算定律是教师教给学生的，不是学生自主探究得出的，缺少亲历知识的形成过程，思路不清晰。
人教版教材，老师们在教学时一般都是直接出示教学情境，得出几个符合乘法分配律特征的等式，引导学生观察这些等式，通过找到它们的相同点，用不完全归纳法抽象出乘法分配律。可是这样做的效果却并不太好，学生往往知其然，而不知其所以然，容易出现这样或那样的问题。
于是我研读了苏教版、浙教版、冀教版和北师大版几种版本的教材有关这个内容的编排，进行比对，思考编者的设计理念，结合学生的年龄特点及以往的以往的教学经验，设计了学生自己动手的拼图的活动，将原本抽象的数学知识通过拼图直观地摆在了面前，借助图形直观，来认识数与形之间的密切联系，提高数与形互相表达的意识和能力,从而帮助学生构建数学模型。
一、经历过程，内生模型基础
数学模型所注意的对象是大多数具有共性的一类事物。所以，教师要先给学生提供丰富的感性材料，让学生从多个方面去了解事物间的联系，从而达到对这类事物全面认识的效果，也为数学模型的正确建立奠定必要的基础。同时基于模型结构抽象性的特点和小学生认知事物形象性的特点，模型建构需要大量的活动经验来支撑，才能让学生从直观地解决问题中去感悟其中抽象的数学模型。
1、激趣引入
在北京召开的“小学科学与数学教育国际会议”中曾提出“数学教育要提倡‘Ｈands on(动手做)’”，旨在让学生从周围生活取材，进行科学实践，以更科学的方法学习数学。“懂数学就是做数学”已逐渐成为大家的共识，数学活动更是“做数学”的具体体现。
师:同学们，喜欢玩拼图吗？老师也喜欢玩拼图，知道吗，小小的拼图里可藏着许多数学知识呢！
（屏幕出示）有趣的图片：悟空、八戒和唐僧。
师：老师带来了大家熟悉的三位朋友，请看屏幕！课件动态呈现零乱的图片柏拼成唐僧师徒三人的图片，问：同学们，在玩拼图时，关键问题是什么？
从学生喜爱的拼图开课，既吸引了学生的注意力，同时，关注“玩拼图时，关键问题是什么？”与后面将要学习的乘法分配律中“同一个数”暗含关联。
2、开放探究，感知规律
师：同学们想试试吗？那我们今天的数学课就从拼图开始吧！
学生的第一次拼图
学生拿出学具袋，学具袋里有各种规格的长方形，有
① 长6格，宽3格
② 长7格，宽6格
③ 长14格，宽7格
④ 长9格，宽8格
生：我们小组选择的是①和②，可以这样计算
学生上黑板写出不同的计算方法：（6+3）×7 6×7+3×7
师：你有什么发现呢？（两个算式是相等的，理由呢？）既然这两个算式相等，我们可以在中间用什么符号连接？
师：这里的“=”表示的是左右两边是相等的关系。
板书：（6+3）×7 = 6×7+3×7
生：我们小组选择的是②和③。可以这样列式：14×7+6×7，也可以列成：（14+6）×7，这两个算式也可以用“=”连接。
师：怎么没有人选择④拼图呢？看来没有相同长度的边我们是无法拼成一个长方形的。
师：让我们回一下刚才的拼图活动，第一组同学选择的是①和②，谁记得他们是怎么计算方格总数的？既然两个算式求的都是方格总数，所以中间可以用等号连接。像这样表示左右两边相等关系的式子我们叫做“等式”。第二组同学选择的是②和③，根据两种不同的方法我们又写出了一组等式。
（6+14）×7 = 6×7+14×7
第二次拼图
师：其实我们的拼图活动还可以继续下去，老师又带来了两块拼图，上面的数字表示的是这一行或这一列的方格数，没有了格子的拼图，你还能拼成一个长方形吗？你能根据这两块拼图写出一组等式来吗？
（6+4）×12 = 6×12 + 4×12
第三次拼图
如果由你们来设计这两块拼图长与宽的方格数，愿意吗？根据你自己设计的拼图能写出一组等式吗？
本环节中学生经历了三个层次的建模过程，循序渐进。首先通过将两个画有小方格的小长方形拼成一个大长方形，再用不同方法求出大长方形的方格总数这一活动，得出两组等式；接着出示只有数字没有方格的两块拼图，学生根据这样的拼图同样可以写出一组等式，拼图活动变得抽象起来；最后学生自主设计或高或矮、或长或短的拼图，根据这些想象出来的拼图写出了多组等式，并感受到了这样的等式所具有的结构特点。从有格子的拼图到只有数字没有格子的拼图再到学生自主设计拼图，层层深入，通过实践活动让学生在脑海里逐步形成了模型的基础。
从拼图游戏中发现等式，孩子们通过动手、动口、动脑，各种感官参与，在“玩”中感受数学：两个长方形只有具有相同长度的边才能拼出一个大长方形；在“拼”中感悟了乘法分配律中“同一个数”的要求。
二、探究关系，奠定模型表象
（6+3）×7 = 6×7+3×7
（14+6）×7=14×7+6×7
（6+4）×12 =6×12+4×12
………
师：黑板上这么多的等式,让我们来看看吧，这些等式左右两边都有什么特点？等式的右边与左边又有什么联系呢？
师：2人小组交流一下。谁来说说你的想法？
生：左边都是两个数的和与一个数相乘,右边都是把这两个数分别同这个数相乘,再相加。左边和右边的得数是一样的。
………
通过学生对三个等式的探究，引导学生发现这一类等式的结构特征。
三、感悟规律，抽象数学模型
师：同学们总结得很好！两个数的和与一个数相乘,可以把这两个数分别同这个数相乘,再相加。
师：你们知道吗？这就是数学王国中很重要的一个运算定律,——乘法分配律！
师：黑板上这么多的等式写得对吗？让我们来看看，还可以再继续写下去吗？写得完吗？
师：这么多算式，你能用图形或符号来表达你的想法吗？或者用一个算式表示出所有的等式吗？
生:（a+b）×c=a×c+b×c
师：既然左边等于右边,那右边也一定等于左边,从右边往左边看,我们还可以怎么说？
……
“文字表述——个性化符号表示——数学化表示” 这一逐步符号化的过程，其实就是学生抽象数学模型的过程。
四、应用规律，完善数学模型
1、应用规律，激活联系
写一写：根据乘法分配律，写出等号右边的式子。
（4+9）×25=□×25+□×25
3×（64+a）=□×□+□×□
27×8+23×8=
a×15+b×15=（□+□）×□
2、运用直观图片，理解模型
连一连：将得数相等的算式连接起来
让我们来仔细观察这两个算式：
（8+5）×6 8×6+5
在应用过程中，设计这个练习的目的在于培养和发展学生思维的灵活性，对于具备不同数字特征的算式来自主选择，是ac+bc的分解式思考，还是（a+b）c的合并式思考，避免了计算的单一性。并在最后的算式中设置陷阱，这是一道学生错误率很高的题，无论是根据乘法的意义还是运用直观的拼图，都能得出两个算式的得数并不相同，当然图形的表达更为直观，孩子们更容易理解和接受。
3、运用拼图，再探规律
计算三块拼图一共有多少个小方格？（拼图上的数字表示一行或者一列的方个数）
选择两种不同的算式让学生比较，从而将乘法分配律进行推广。
4、举一反三，拓展模型
几号拼图谁的方格多一些？多多少？你能用两种不同的方法计算出来吗？老师给一点提示，拼图可是会动的哦。你有什么发现呢？回家和爸爸妈妈分享！
适时地类推“求和-求差”问题，既沟通了乘法与加减法之间的联系，又使减法中同样适用乘法分配律这一知识润物细无声地得到渗透，并使乘法分配律的基本模型再次“生长”，进一步加深对其规律本质的理解。
“乘法分配律”是一个高度抽象的数学模型，本节课的教学不仅仅是要学生掌握其外在的、显性的公式，更重要的是让学生真正把握模型内涵。本节课用拼图游戏贯穿始终，学生通过将两个小长方形拼成一个大长方形，再用不同方法求出大长方形的方格数这一活动，得出两组等式，在直观的操作中获得了数学经验，感受到拼的前提是必须要有“相同长度的边”，为渗透乘法分配律中“同一个数”提供了感性素材；接着在自主设计拼图并写出等式的过程中，学生根据拼图与算式的联系初步理解等式的结构；其后变式练习中又进行了拓展，再一次拼图操作让学生体会到从两个数的和乘一个数上升到三个数或多个数的和乘一个数，依然可以用到乘法分配律；最后的课外作业更是将“加”变成了“减”，进一步拓宽了学生的视野，为学生又开拓了一片天地。抽象的数学知识通过拼图直观地摆在了学生面前，帮助学生理解和接受抽象的内容，使学生经历了数学抽象概念发展的“直观——形式——直观”的模式，让数学模型深深地建构在学生的数学结构中。
模型建构的确需要大量的活动经验来支撑，这样才能让学生从直观地解决问题去感悟其中抽象的数学模型。学生对建模过程的体验表现在外部的动手操作和内部的思维活动两方面。动手操作——体验性的实践活动能降低模型的抽象程度，有助于学生在“做”的过程和“思考”的过程中积淀感性的活动经验、思维经验，从感性认识上升到理性认识，进而认识规律、提炼模型。思维活动——学生根据发现的关系和规律，运用抽象的符号进行表达，是对当前问题解决进行认知“重构”的过程。当然，动手操作和思维活动并非截然分开的，学生在动手操作的过程中有对问题的思考，使得学生的建模经历成为一种内生性的过程。
在实际教学中，我们要创造性地使用教材,充分挖掘教材中蕴含的建模思想,因材施教,关注学生发展的差异性,把实际生活问题抽象成数学问题,将实际问题数学化。让学生能从这种体验中获得更深刻的理解，从而积累数学建模的思维经验，既利用数学模型解决了问题，又锻炼数学建模的能力，学生也实现了“鱼”和“渔”兼得！