高国伟
漳州市北斗中学
摘要:本文就勾股定理应用——最短路径(展开图)问题的表述进行探讨,并考虑变式及解答的合理性。
关键词:最短路径 展开图 表面 侧面 侧展图 左展图 前展图 变式
北师大版教材2012版勾股定理中设计了P13引例:如图1,圆柱的高12,底面圆周长为18.下底面点A的蚂蚁想吃到上底面与点A相对的点B处的食物,则它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?
分析:蚂蚁在圆柱侧面爬行路线是一条曲线段,不易求取,曲线路径多种多样,如何确定最短路径?引导学生降维思考:将圆柱侧面展开使曲面成为矩形平面,使曲线段成为线段,利用勾股定理可得最短路程为d小=15。
思考:命题时易忽略关键字眼“侧面”,若省略这两字会有什么变化?蚂蚁爬高AA'后沿直径A'B爬行,则路径长为18÷2π+12≈14.9,比侧面爬行最短路程更短。
故变式时最好加上“侧面”“无盖”等字眼,避免命题上的不严谨,增强问题合理性。
变1.底面圆周长8m高6m的圆柱形油罐,一老鼠从距底面1m的M处爬行到对角B处偷油吃,如图3,它爬行的最短路线长多少?(本例还可变化高和半径、B点改为上
某点,进行起点终点的定位探讨)
分析:最短路径为折线M-A'-B,长9m.解答时应取展开图路径和折线路径后比较。
变2.如图4,圆锥底面半径为2,母线BC=6,D为BC中点.蚂蚁从点A出发,沿圆锥侧面爬行到点D,则它爬行的最短路程为多少?
分析:将圆锥沿侧面展开如图5,得
=2π,∠ACB=60°,连接AB、AD,则AD为最短路径,因CA=CB=6,故⊿CAB是等边三角形,故∠ADC=90°,CD=3,所以AD=
。
P15习题4.如图6,长8宽8高12的无盖长方体盒子,蚂蚁从盒底的点A沿盒子表面爬到盒顶对角顶点B,则它爬行的最短路程是多少?
分析:侧面展开得ABmn=20cm,批改时容易忽视对解析完整性,注意“表面”而非“侧面”,展开图应从侧展图7、左展图8、前展图9进行分析比较,得出侧展图最短路径最短的结论。这类问题要全面分析,切忌一概而论,导致学生片面形成唯侧展图论,使学生思维固化,形成错误结论。可变式如下:
变1:如图10,长方体AC'中,AB为4,BB'为3,AD为2,蚂蚁从A出发,沿长方体表面爬到C'点,求它爬行的最短路程是多少?
误解:侧面展开如图11,则∠ACC'=90°,AC=6, CC'=BB'=3,故最短路径长为AC=.
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变3.如图e,长方体AC'中,AB=15,BC=10,AA'=20,点P A'=10,蚂蚁沿长方体表面从点C爬到点P,爬行的最短距离是多少?
变4.如图f,蚂蚁在转梯前4个台阶的A处发现转梯对角的B处有食物,每级台阶长、宽、高分别为120cm、30cm、10cm。则它沿台阶表面爬行到点B的最短路程长多少?
变5.如图g,老鼠从长2宽4高5的长方体顶点P经过4个侧面爬行一圈到达Q点,它爬行的最短路径长多少?
变6.如图h,点P、Q分别是棱长为8的正方体左右两侧面的中心,蚂蚁从点P沿其表面爬到点Q的最短路程为多少?(还可就长宽高进行变式)
综上述,求取最短路径问题是应尽量使问题严谨合理,分析要全面,避免误解,以符合生活实际。本节在实数单元未进行授课下进行的,故命题数据更要慎重,建议本节讲完根式化简后再讲授。