摘要：某些代数问题，采用代数方法运算繁琐，学生常常感到“烦”或无从下手，文章针对常见的几种代数问题进行求解，希望对读者有所启示。
关键词：代数问题、联想、几何背景。
在数学教学中注重“联想”，有助于学生领悟到数学的整体观念和获得解决问题的能力。特别某些代数问题，若能“联想”它的几何“背景”，往往可以使问题轻松获解。
著名数学家、数学教育家G·波利亚在《怎样解题》一书中说道：“不断地变换你的问题，……，我们必须一再地变换它，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到有用的东西为止。”这里所说的变换就是转化，也就是“联想”，把待解决或未解决的问题“联想”有关概念、公式，将之归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得问题的解答。
大家都清楚，对一些基本概念、公式，基本知识与技能，基本题型的深刻理解与熟练掌握十分重要。因为，无论对问题如何进行变换，都需要以此为基础，所以，“联想”就尤为重要。下面举例说明代数问题，“联想”几何“背景”的应用。
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分析：本题若采用代数方法，则运算较繁琐，若能“联想”它的几何“背景”——两点间距离公式，不难发现，经过配方，可以把函数的右边看成是一个动点到两个定点的距离之和，再据此求函数的最小值。
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令A（4，2）、B（0，1）、P（x，0），则上述问题便转化为在X轴上求一点P（X，0），使得|PA|+|PB|最小。
作点A（4，2）关于X轴的对称点A′（4，-2），由图便可直观地得出，|PA|+|PB|的最小值即为|BA′|的长度，由两点间的距离公式可得：
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分析：“联想”不等式左边的几何“背景”——两点间距离公式。
证明：设P（x，y）、O（0，0）、A（0，1）、B（1，0）、C（1，1）于是不等式左边表示为：
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分析：可用函数求导法解决此问题，但比较麻烦。
“联想”它的几何“背景”——圆，可用圆的参数方程求函数的最小值及最大值，这样使问题顺利、快捷地得到解决。
而A为定点，P是圆+=1上的动点。因此，求函数f(θ)的最值问题就“联想”到它的几何“背景”——求直线PA的斜率的最值。
解：如图f(θ)可看成
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，A（2，1）两点连线的斜率，且P在圆+=1上运动，过定点A作圆的两条切线AP1，AP2，则AP1斜率最小，且最小值为0，AP2的斜率最大，下面求AP2的斜率，设AP2的斜率为k，则直线AP2的方程为：y-1=k（x-2）即kx-y-2k+1=0
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解析几何是在坐标系的基础上，用代数的方法研究几何问题的一门数学学科，它把平面上的点与有序实数对之间建立起对应关系，使平面上某些曲线与某些方程之间建立对应关系，使平面图形的某些性质（形状、位置、大小）可以用相应的数、式表示出来，使平面上某些几何问题可以转化为相应的代数问题研究。反之，某些代数问题又可以转化为相应的几何问题研究。
总之，代数问题若能“联想”它的几何“背景”，利用图形的直观效果，巧妙地求解，使求解的过程异常简捷，从而体现了数形结合，数形统一，形与数达到完美的统一的目的。
参考文献：
[1]全日制普通高级中学教科书（必须）数学第二册（上）
[2]薛金星·中学第二教材——高二数学（上）北京教育出版社
[3]周益新·教材精析精练——高二数学（上）延边教育出版社