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浅谈分类讨论思想

发表时间：2020/3/2 来源：《中小学教育》2020年第398期作者：沈雪华

[导读] 通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略。

福建省漳州市诏安一中　353600
        摘　要：分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略。
        关键词：初中数学　分类讨论　数学思想
        分类讨论思想是指在解决一个问题时，无法用同一种方法去解决，而需要一个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些问题一一加以解决，从而达到解决问题的目的，这就是分类讨论思想。当数学问题中的条件、结论不明确或题中含参数或图形不确定时，就应分类讨论。分类讨论思想是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，不重复、不遗漏是对分类讨论提出的基本要求。进行分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不重不漏”。
        一、在实数中的应用
        实数是数学的基本，当不知数的大小或范围时，要对实数进行分类讨论。
        例1，比较2a和-2a的大小。
        分析：a具体是多少没有确定，也无法知道其是正、0或负数，故要对a进行分类讨论。
        解：当a>0时，2a>-2a，当a<0时，2a<-2a，当a=0时，2a=-2a。
        例2，化简　（a-b）2-（a-b)。
        分析：根据　a2=|a|=　　　　　因为不知a-b的正负，即不知a,b的大小关系，因此要对a,b大小进行分类讨论。
        解：当a≥b时，　（a-b）2-（a-b）=|a-b|-（a-b）=a-b-（a-b）=0，当a<b时，　（a-b）2-（a-b）=|a-b|-（a-b）=-（a-b）-（a-b）=2b-2a。
        二、在函数或方程中的应用
        函数的定义中k的范围至关重要，影响到函数是否存在，及图形与性质，要对k进行讨论。
        例3，已知直线y=kx+5（k≠0）与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求k的值。
        分析：用k表示出函数图象与x轴的交点的横坐标，利用三角形的面积为5，求k的值。
        解：令y=0得x=-　，令x=0得y=5，因为函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为5。所以　×5×|-　|=5即|-　|=2，①当k>0时，　=2，解得k=　；②当k<0时，-　=2，解得k=-　。所以k=　或k=-　。
        三、在三角形中的应用
        按角分类，三角形可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。当不明确三角形类型时要对三角形进行分类。
        例4，在△ABC中，边AB＝15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是（　）。
        A.42　　B.32　　C.42或32　　D.不能确定
        分析：此题应分两种情况。
        ①当△ABC为锐角三角形时，周长为42;②当△ABC为钝角三角形时，周长为32。
        未明确对应关系的全等或相似三角形的可能对应情况要进行分类。
        例5，如图，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm,动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s。如果P,Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？

        分析：题目写“△QBP与△ABC相似”，要分两种情况分析。
        ①△BPQ∽△BAC。
        ②△BPQ∽△BCA。
        解：BP=8-2t,BQ=4t，当△BPQ∽△BAC时，　 =　即　　=　，所以t=2；当△BPQ∽△BCA时，　 =　即　　 =　，所以t=0.8。所以t=2或t=0.8。
        特殊三角形——等腰三角形有关题目，不明确是腰还是底边、顶角还是底角或哪两条边为腰时，要进行分类。
        四、结束语
        总之，分类讨论思想体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复)；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，从而提高全面考虑问题的能力，提高周密严谨的数学素养。
        参考文献
        [1]数学教育学[M].北京，人民教育出版社，1985，273-274。