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初中数学中的最短路径问题——用初中数学知识解决最短路径问题

发表时间：2020/3/2 来源：《中小学教育》2020年第398期作者：郭明瓒

[导读] 从直线外一点到直线上各点的所有连线段中，垂线段最短，就可以去解决许多最短路径问题。

云南省玉溪市澄江县第五中学　652500
        摘　要：在初中数学中，我们学习了两点之间线段最短、在三角形中，任意两边之和大于第三边、从直线外一点到直线上各点的所有连线段中，垂线段最短，就可以去解决许多最短路径问题。
        关键词：初中　数学　最短路径
        一、在初中数学中，我们学习了两点之间线段最短以及在三角形中，任意两边之和大于第三边，就可以去解决许多最短路径问题，下面就来加以解析。
        例1，如图，已知直线L和L异侧两点A、B,在直线L上求作一点P，使PA+PB最小。
        解析：只要连接A、B两点与直线L交于P点，此时PA+PB最小。
        依据：A,B两点之间，线段最短。
        例2，如图，已知直线L和L同侧两点A、B，在直线L上求作一点P，使PA+PB最小。
        解析：作A点关于直线L的对称点A`点，连接A`B交直线L于点P,连接AP，此时AP+PB最小。
        依据：若在直线L上取一个异于P点的点P`，连接AP`、A`P`,此时P`A+P`B=P`A`+P`B>A`B=PA+PB。
        居于以上两个基本结论，我们就可以进一步来解决一些更为复杂的最短路径问题。
        问题1：如图，已知点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上求作点A、B,使△PAB的周长最小。
        解析：分别作P点关于OM,ON的对称点P1、P2，连接P1P2，分别交OM，ON于点A,点B,连接AP、BP，此时△PAB的周长最小。
        问题2：如图，点P、Q为∠MON内的两点，分别在OM、ON上作点A、B，使四边形PABQ的周长最小。
        解析：作P点关于OM的对称点P`点,作Q点关于ON的对称点Q`点，连接P`Q`,分别交OM、ON于A、B两点，再连接PA、BQ、QP，此时四边形PABQ的周长最小。

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        二、在初中数学中我们还学习过从直线外一点到直线上的所有连线段中，垂线段最短，下面我们来加以解析。
        如图，已知直线L及其外一点P，在直线L上求作一点H，使PH最短。
        解析：过P点作PH⊥L于H点，则PH最短。
        依据：在直线L上取异于H点的A、B两点，连接PA、PB，在Rt△PAH中∵∠PHA>∠PAH，∴PA>PH,同理PB>PH,故PH最小。
        居于以上结论，我们就可以进一步去探索解决一些更为复杂的最短路径问题。
        问题1：如图，已知点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。
        解析：过点A作AB⊥OM于点B，交ON于点P，此时,PA+PB最小。
        问题2：如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。
        解析：作A点关于ON的对称点A`点，过A`点作A`B⊥OM于B点，交ON于P点，则PA+PB最小。
        问题3：如图，在锐角△ABC中，AB＝4　2，∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是______。
        解析：作点B关于AD的对称点B`，过B`点作B`N⊥AB于N点，交AD于点M，则线段B`N的长就是BM+MN的最小值。因为AB`=AB=4　2，在等腰Rt△ANB`中，根据勾股定理得B`N=4。
        问题4:在△ABC中，∠A=45°，AB=7,AC=4　2,点D、E、F分别为BC、AB、AC上的动点，求△DEF的最小周长。
        解析：在边BC上先取一个点D，分别作D点关于AB、AC的对称点D1、D2，连接D1、D2分别交AB、AC于E、F两点，则∠D1AD2=90°,AD=AD1=AD2，D1D2=　　　=　2AD,要使D1D2最小，必须使AD最小，此时过A点作AD⊥BC于D点，即只有当AD为BC边上的高时，AD最小，过C点作CP⊥AB于P点，有△APC为等腰直角三角形，∴2AP2=(4　2）2?AP=CP=4，∴BP=3,则BC=5,有　×7×CP=　×5×AD,AD=　×4=　。故△DEF的最小周长为　　2。