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《计数原理Ⅰ——乘法原理》教案及反思

发表时间：2020/1/8 来源：《素质教育》2020年3月总第337期作者：沈丽莉

[导读] 高二学生已具备一定的数学知识和方法，如果遇到与计数有关的问题。

华东师范大学附属周浦中学　上海　201318
　　一、教材分析
　　本节课是高中数学第十六章排列组合与二项式定理的第一节课。计数问题是数学中的重要研究对象之一，也是人们了解客观世界的一种最基本的方法。乘法原理是人们在大量实践的基础上归纳出来的基本规律，它不仅是推导本章16.2排列中排列数计算公式的依据，也是求解排列问题的基本思想，可见，其基本思想贯穿着本章内容，因此，它是学好本章的一个关键。
　　二、学情分析
　　高二学生已具备一定的数学知识和方法，如果遇到与计数有关的问题，基本采用枚举法，即一个一个地数，但当这个数很大时，枚举法就很难实施，这就形成了学生思维的“最近发展区”，只要教师能在关键的地方加以点拨，学生就容易通过归纳、类比形成新的知识体系。
　　三、教学目标
　　1.通过典型实例探究问题本质，抽象概括出基本原理。
　　2.掌握乘法原理，会用乘法原理计数。
　　3.体会数学来源于生活，并为生活服务。
　　四、教学重点及难点
　　掌握乘法原理的核心：分步，分步时注意步与步之间相互独立、互不干涉。
　　五、教学流程设计
　　生活中的实例导入→引出乘法原理→分析乘法原理→乘法原理应用→方法小结→作业。
　　六、教学过程
　　1.情境引入。你知道体育彩票吗？买过吗？中过大奖吗？彩票种类有很多，你们能否说一下传统7位数的游戏规则吗？每注彩票2元钱，你会把所有的号码都买遍吗？（这可以中大奖哦！）
　　这个问题所涉及到的知识就是今天我们要一起研究的内容，在这节课的最后我们再来研究这个问题吧。
　　设计意图：从大家非常熟悉的彩票入手，让学生认识到计数问题的普遍性和研究的必要性，了解本堂课要学习的主要内容，激发学生的求知欲。
　　2.引例，我班小清同学的表哥来上海玩，想请小清当一天的导游，带他到野生动物园玩，然后再到欧尚吃饭，那么从小清家（周浦）到欧尚有多少种不同的走法？
　　说明：
　　

　　
　　
　　
　　3.如果在欧尚吃完饭后还想到迪士尼，准备晚上看烟花，那么从小清家（周浦）到迪士尼有多少种不同的走法？
　　
　　
　　
　　
　　分析上述引例的特点，引导学生从特殊到一般进行推广。
　　4.乘法原理：如果完成一件事需要n个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法……第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N=m1m2……mn种不同的方法。
　　注：（1）完成一件事需要分几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事情，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么完成这件事情的方法数就可以直接用乘法原理。
　　（2）“完成一件事情，需要分成n个步骤”，是说每一个步骤都不足以完成这件事情，当且仅当n个步骤都完成了，整件事情才完成了。
　　（3）分布要合理，步与步之间相互独立、互不影响。
　　5.例题选讲。
　　例1：某厂生产的手机为了在款式上能适应更多顾客的需求，为统一的机芯设计了2种不同的外形，同时每种外形又有3种不同色彩的外壳.该厂这种手机共可设计多少种不同款式？
　　例2：（1）3封不同的信要投入4个不同的信箱，共有多少种不同的投递方法？
　　（2）4封不同的信要投入3个不同的信箱，共有多少种不同的投递方法？
　　设计意图：这是学生易混淆的两道题，到底是43还是34，学生经常搞不清楚。关键在运用分步计数原理进行计数时，每一步都必须是“必要”的、缺一不可的，步与步之间是相互独立的，互不干涉的，因此要合理分步。
　　6.回到课前的彩票问题，你能解决那个问题吗？
　　7.课堂小结：在乘法原理应用中，正确分清做每一件事的步骤，其次搞清每一个步骤的方法数。
　　8.课后作业。
　　（1）练习册，P37/1,2,3,4，P38/5,6。
　　（2）思考：如图，用红，黄，蓝、绿、黑五种颜色给图中的4个区域涂颜色，每个区域涂一种颜色，①若要求每个区域颜色都不同，那么有多少种不同的涂色方法？②如果要求相邻的区域颜色不能相同，那么有多少种不同的涂色方法？
　　七、教学反思
　　1.教学目标定位要准确。
　　概念教学一定要为学生提供丰富典型的具体例证，使学生经过自己的实践活动，从中归纳、概括出一类事物的共同本质特征，从而理解和掌握概念。
　　计数原理1是一堂概念课，目的是帮助学生建立乘法原理的概念，这堂课的教学过程大体可以分成四个阶段：课题引入、抽象概括、内化理解、外化运用。恰当、有效的情境引入可激发学生的学习兴趣，因此，本节课以生活实际相联系的彩票问题入手，使学生有学习的新鲜感，同时也产生了探究的欲望，并且了解本节课要学的内容，做到心中有数。而一个概念的形成过程需要对一些材料进行观察、分析、比较、归纳、概括，因此，我又由浅入深地给出两个贴近学生生活的简单例子，然后在教师的引导下，让学生参与教学，举出了许多有利于归纳、抽象、概括出加法原理的其他例子，并让学生说出所举例子的特点，引导学生抓住本质，同时，也培养了学生从特殊到一般的数学思想方法。在教学中，防止直接把概念“抛”给学生。
　　2.学生主体地位要重视。
　　课堂教学过程是在教学目标的指引下，由师生共同动态“生成”的。其中，学生的反馈是重要的，它决定了教学的进程。聆听学生是教师的必备技能，不要将学生作为“答案发生器”，不要沉浸在“我的学生都会做了”这种虚假的成功喜悦中，而应该让学生关注解决问题的过程、策略及思想方法，让他们充分地展示思想，完整地、数学地表达自己的想法，甚至于应该给予他们犯错的机会，也帮助他们提高分析错误，更正错误的能力。
　　本节课在外化运用的过程中，给学生设计了这样一道题：
　　3封不同的信要投入4个不同的信箱，共有多少种不同的投递方法？
　　经过学生的讨论，学生回答的结果是，理由是每个信箱放信的方法有3种，殊不知，分步错了，对于这样的答案，我没有马上否定，而是和学生一起经历这个送信的过程。我让四名同学站起来，充当四个不同的邮箱，用三张不同颜色的纸充当三封不同的信，按照学生所述，第一个邮箱放信的方法有三种，于是同学就会发现第二个邮箱的放法无法确定，因为受前一个的影响，从而明确分步要合理，步与步之间相互独立，不受影响。通过学生的犯错，通过一起经历这个事件，学生明确了“分步”的关键，充分体现了学生学习的主体地位。
　　本节课对于课本例题“540的不同正约数共有多少个？”的处理是采用了从特殊到一般的思想方法。在设计教案时，本来想直接抛出此题，但分析学生的特点，直接抛出此题对学生有一定的难度，因此采用层层深入的方法，做了这样的铺垫：
　　（1）6的正约数有几个？
　　（2）12的正约数有几个？
　　推广：M=2a·3b(a,b∈N*)的正约数有几个？
　　通过这样铺垫，学生利用从特殊到一般的思想方法，明确求正约数个数时如何进行分步。
　　3.问题是数学教学的心脏。
　　“问题是数学教学的心脏”，这是数学家哈尔莫斯说的一句名言。数学之所以能成为锻炼思维的体操，是因为数学发展始终都在不断地提出问题和解决问题。事实上，问题也是教学的出发点，是思维的起点，有问题才会去思考解决的办法。数学教学正是在不断提出问题、解决问题的循环反复的过程中培养、发展和提高学生的思维品质与学习能力。在教学过程中，“问题”（包括提出问题和解决问题两个方面）的形成、推证和探索过程的质量是衡量数学教学效益和活力的最重要指标，所以“问题”的教学是数学教学的心脏。
　　
　　