姚国成
福建省
莆田青璜中学 姚国成351111
已知题目中出现线段中点或两边倍半关系，要联想到的辅助线有：
1、倍长中线
2、等腰三角形三线合一
3、中位线
4、直角三角形斜边上的中线
这讲重点讲解通过构造中位线来解决相关问题
I、通过构造中位线解决线段倍半问题：
来看上讲提到的一道课后证明题，证明重心性质：
例1已知：△ABC中，中线AD、CE相交于点O
求证：AO=2DO, CO=2EO
思路：要证线段倍半关系，可倍长或取中点，下面用构造中位线证明：
分别取AO、CO中点G、H，依次连接GEDF，
根据中位线性质可证DE∥GF，DE=GF，证明四边形GEDF为“平四”
得：EO=FO=FC,DO=OG=AG
（注：本题也可用倍长和相似证明）
练习1 已知：△ABC中，点E为中线AD中点，连BE并延长交AC于点F.
求证：CF=2AF，BE=3EF
法一：取CF中点G,连DG 法二：取BF中点K,连DK .(过程略)
(注：以上两辅助线也可是过D作平行线，这在以后相似单元会学到)
练习2已知：□ABCD中，E为AD中点，连BE、CE， F为BE中点，连DF交CE于点G，求证：FG=DG,EC=4EG
II、通过构造中位线解决中点四边形相关题型：
中点四边形有关结论有：
1、依次连接任意四边形四边中点可得平行四边形
2、依次连接对角线相等的四边形四边中点可得菱形
3、依次连接对角线互相垂直的四边形四边中点可得矩形
4、依次连接对角线相等且互相垂直的四边形四边中点可得正方形
（以上结论易证，由学生自己画图证明并掌握）
例3：已知：RT△ABC中，∠A=90°
D、E分别为AC、AB边上两动点，连BD、CE，F、G、M、N分别为BC、DE、CE、BD边上中点1、求证：FG=MN；2、当动点D、E满足什么关系时，FG⊥MN
简析：1、依次连接G、N、F、M，易证MGNF为平四，再通过导角证明∠MFN=90°得矩形FG=MN当CD=BE时，可证MGNF为正方形
练习3 已知：正方形ABCD中，E、F、G、H，分别为AB、BC、CD、DA边上的点，且EG⊥FH,依次连接EFGH,分别取EF、FG、GH、HE各边中点J、K、L、I连KI、LJ，探究线段KI与LJ的关系，并证明
III、通过构造中位线把分散的边角（如：四边形对边或对角线）
缩放集中在一起
例4已知：四边形ABCD中,M、N分别为AD、BC边的中点,AB=8,CD=6
（1）求MN的最大值；（2）当∠ABC+∠DCB=90°时，求MN的值
（1）MN≤HM+HN，最大值为7
简析：连BD,取BD中点H,连HM,HN，通过导角，可证∠MEN=90°，勾股得MN=5
另解：如图，类似倍长中线，DE=10MN=5
练习4已知：四边形ABCD中,AB=CD,M、N分别为AC、BD边的中点,
分别延长BA、DC交于G,延长NM交BG于F,交BG延长线于E
求证：△EFG为等腰三角形
提示：如图，连BD，取BD中点K，
连MK，NK如图，通过导角证∠E=∠EFG
(通过构造中位线，把AB、CD缩小一半集中在△KMN中)
小结：已知两对边，连对角线，取其中点构造中位线，可把已知两边缩小一半集中在一个三角形中，并可通过转化已知角解决问题。
例5已知：四边形ABCD中,E、F分别为AB、CD边的中点,连EF交AC、BD于M、N
(1)当AC⊥BD时，求证:
(1)当AC = BD时，求证: GM=GN
提示：取BC中点I，连EI,FI
通过构造中位线，把AC、BD缩小一半集中在△EIF中,再导角证明∠EIF=90°
勾股可得
提示：取BC中点H，连EH、FH,证EH=FH
再证∠GMN=∠EFH=∠FEH=∠GNM
GM=GN
小结：已知四边形两对角线，取一边中点构造中位线，可把已知两对角线缩小一半集中在一个三角形中，并可通过已知边、角的转化来解决问题。
练习5
已知：四边形ABCD中，AB=CD，F分别为BD、AC的中点，G分别为EF、BC的中点求证：HG⊥EF
练习6
已知：△ABC中，BD=CE，F、G分别为BE、CD的中点，直线FG分别交AB、AC于点M、N.求证：△AMN为等腰三角形