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高中数学36个解题思维模板

发表时间：2021/2/19 来源：《基础教育课程》2020年12月作者：孙其华

[导读] 高中数学题千变万化，呈现高度灵活性。但题型是有限的，同种题型的解题思维是相通的。如果归纳、总结、提炼出一套解题思维模板，就可以一眼识别常规题考查点，迅速建立起解题思维模式。以下是笔者梳理的高中数学36个解题思维模板，几乎涵盖整个高中数学模块的学习。

山东省一线教师孙其华

        高中数学题千变万化，呈现高度灵活性。但题型是有限的，同种题型的解题思维是相通的。如果归纳、总结、提炼出一套解题思维模板，就可以一眼识别常规题考查点，迅速建立起解题思维模式。以下是笔者梳理的高中数学36个解题思维模板，几乎涵盖整个高中数学模块的学习。
        1.考查函数奇偶性+单调性+对称性+周期性的三角函数图像模板（考查奇函数，可利用正弦函数图像，作为一种特殊情景；同样，偶函数可利用余弦函数图像。）
        2.函数图象解题“三步走”模板（第一步奇偶性，第二步代点，第三步求导、取极限、看趋势。）
        3.偶函数图像+比较大小模板（看图像开口方向，如果开口向上，横坐标绝对值大的对应的函数值大，开口向下则相反。）
        4.三角函数奇偶性模板（如果y=Asin(ωx+φ)是奇函数根据奇变偶不变原则，φ=kπ；如果是偶函数，φ=1/2kπ；对于余弦函数，则相反。）
        5.三角函数计算题模板（两角互补，正弦相等，余弦相反，正切相反；两角互余，正弦等于余弦，正切等于余切；降幂会升角，降角则升幂；正弦+余弦，只要角一致，指数一样，则辅助角公式如果化简后指数呈现二倍关系，则转化成一元二次函数求最值问题。）
        6.三角函数图像性质整体分析模板（对于正弦型函数问题，一定不要研究正弦函数图像本身，而应该整体代换，去繁就简，转化成正弦函数图像问题。对于余弦型函数，也是一样。）
        7.线性规划问题步骤模板（首先画可行域，其次目标函数化为斜截式形式，然后去移动、定点。）
        8.均值不等式应用方法模板（增添常数法、增添系数法、分离常数法、“1”的代换、a+b型与ab型的转换等方法，灵活运用。）
        9.向量建系方法模板（一般而言，在向量题目中，只要是特殊形状+数量关系，建系法为捷径。对于最值问题，尤为捷径。）
        10.正四面体重要数据记忆模板（设棱长为a，则：其内高为三分之根六a，对棱间的距离为二分之根二a，相邻两面所成角的余弦值为三分之一，内切球半径为十二分之根六a，外接球半径为四分之根六a。）
        11.直线和圆的垂径定理模板（直线和圆的问题，应首先想到垂径定理。）
        12.涉及圆的最值问题模板（对于圆上一点到圆外一点或者圆外直线的距离最值问题，一般转换为圆心到点或直线距离，这个距离加半径为最大值，减半径为最小值。）
        13.排列组合问题解题原则模板（先选后排；先分类再分步，分类是相加分步是相乘；分类标准要单一、不重不漏；直接法不方便，则用间接法；优先考虑特殊元素；捆绑法、插空法、隔板法、定序法等多种方法灵活运用，创新运用，不可机械套用。）
        14.二项式定理求系数的快捷模板（很多情况下，求系数可以不用二项式定理通项公式，而用排列组合进行配凑系数，这样又快又准。特别是对于三项式求系数，排列组合配凑法更显示出巨大优势。）
        15.求内切球半径方法模板（棱锥的内切球问题，一般通过分割体积法，将整个空间分割成多个小棱锥，每个小棱锥的高都是内切球半径；直棱柱内切球问题，一般通过截面法，即任何平行于棱柱上下底面的截面的内切圆直径就是内切球直径，从而转化成内切圆问题，再利用等面积法求内切圆半径。）
        16.定位外接球球心方法模板（对于长方体、正方体，体对角线即为外接球直径；对于规则的棱锥，比如正三棱锥或正四棱锥，其外接球的球心就在其内高上，通过构建直角三角形解决；对于侧棱垂直于底面的棱锥外接球问题，则需转化成同底等高的棱柱，两者是一个外接球，其球心就在棱柱内高中点处；另外，过任何一个球的两个截面的重心且垂直于这个界面的两条直线必交于一点，即球心。这一事实也可以作为定位球心的重要方法。

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        17.最值问题代数法模板（设定一个变量，构建函数，转化成函数值域问题；也可设定两个变量，转化成线性规划问题或均值不等式问题。）
        18.最值问题几何法模板（这类问题往往归结到三个点是否共线上。）
        19.三角形求周长或面积最值的正余弦定理模板（如果知道三角形的一边及其对角，可以用正弦定理表示另外两边，进而运用辅助角公式将其周长转化成正弦函数标准形式求其最值；也可用余弦定理，运用均值不等式知识，此时既能求三角形周长最值，也能求其面积最值。）
        20.圆锥曲线中点弦问题模板（通过点差法，可以对弦中点、圆锥曲线方程、弦所在直线三个量，知二求一。）
        21.三角函数大题“三步走”解题模板（第一步化简降幂，第二步转化成标准形式，第三步整体代换正余弦函数图像性质。）
        22.立体几何平行垂直关系模板（首先使用常规几何法，若常规几何法不方便，则转化成向量法。）
        23.立体几何求空间角步骤模板（第一步建系求坐标，第二步求面的法向量，第三步运用线面角、二面角公式。）
        24.切线问题“三步走”模板（第一步求导；第二步求出切点处的导函数值，即切线斜率；第三步点斜式方程。）
        25.含参导数分类模板（对于导函数是二次函数形式的，首先看二次项系数是否为0，其次看判别式，当判别式大于0时，对两根大小进行讨论，如果函数定义域不是R而是有特定的范围，最后还应该对两根和定义域端点值进行比较讨论；对于导函数不是二次函数形式的，一般对参数进行大于0、小于0、等于0的讨论。）
        26.导数虚拟零点问题模板（设n为导函数零点，这类问题的关键在于，一定把f’(n)=0这个等量关系用上，为下一步把n代换出来做准备。整个过程n只是作为代换用，因此这种方法也叫设而不求法。）
        27.恒成立存在性问题思维模板（对任意f(x).....存在g(x)大于、小于或者等于.....类似结构问题，一般转化成函数最值问题。）
        28.交点零点问题的两类方法模板（一种是整体分析法，研究整个函数图像和x轴交点问题；一种是通过f(x)=g(x)分解出y=f(x)与y=g(x)两个函数，从而研究这两个函数的交点问题。）
        29.数列大题分奇偶讨论模板（并项求和法、分组求和法，几乎必考虑分奇偶讨论。）
        30.数列问题方法模板（作差法、构造法、累加法、错位相减法、裂项相消法、并项求和法、分组求和法的灵活运用。）
        31.概率大题分类模板（二项分布对应独立重复事件，超几何分布实际上是一种古典概型思想。）
        32.相关点法求轨迹模板（求哪一个点就设哪一个点为（x、y），同时设出相关点（m、n），然后找到两点之间的等量关系，最后用含（x、y）的式子表示出（m、n），代入相关点所在的轨迹。）
        33.圆锥曲线问题联立模板（设点、设直线、联立、一元二次方程、判别式、韦达定理、弦长公式；然后把韦达定理和题目条件以及题干要求结合起来，建立逻辑关系。）
        34.圆锥曲线问题与韦达定理的结合模板（关键是找到与韦达定理结合的量，最常见的有中点、重心、弦长、斜率、点在直线上、面积、比例分点、角平分线等。）
        35.直线过定点问题模板（求出含参的直线方程，令参数的系数为0，解方程，求出定点。）
        36.圆锥曲线定值问题模板（先求特殊情况下的定值，比如斜率不存在或某特殊点位置，然后去求得一般情况下也是这个定值。）
        高中数学思维博大精深，是高中数学的灵魂。上述仅为笔者零散的思考，尚不成体系，仅可作为举例而已。拙文一篇，仅供学生参考。