陈振亮
浙江省东阳市吴宁第二初级中学 322100
摘要：相比于其他学科而言，数学具有学习内容复杂、学习难度大的特点，但同时学习数学又有着非常重要的意义。对于学生来说，什么样的方法才是最佳的学习方法，就需要教师在实际教学中不断地探究总结。“数”和“形”属于数学研究中的两大重要部分，将两者结合起来统一应用的解题思想是目前来说在数学解题中比较普遍的方法，恰当且灵活应用正确的解题方法会提高学生的学习效率。鉴于此，本文对基于基本图形分析法的初中数学解题路径进行了探索。
关键词：初中数学；基本图形；解题路径
基本图形分析法能够帮助学生启发思维、提高数学兴趣、智力发展、素养提高，取得优异的数学成绩。
一、基本图形分析法对几何学习的帮助
一直以来，对于中学平面几何的学习，教师感到不好教，学生也感到难学懂。而几何学习又是学生学习能力、思维发展的重要转折点。学生在学习几何的过程中，对于几何问题的思考方法以及分析方法的规律，对于几何问题中添加的每一条辅助线的添加大多学生都无法完全掌握，原因在于目前的传统几何教学模式中，无法直接的对学生的这些问题给出准确科学地回答。所以学生在几何学习中“畏难”的心理无法得到消除。
因此，在几何解题教学中，得出一种新的分析方法一基本图形分析法。首先运用该方法的前提条件，学生要对几何图形以及对应性质的能认识、会分析、会运用。其实，几何图形虽多虽复杂，但仔细研究发现，这些图形都是由一个或几个基本图形组合起来形成的。但是若干个基本图形组合起来成为一个复杂几何图形，形成几何问题的时候，组成该复杂图形的许多基本图形的性质就隐藏起来了，因此基本图形分析法的实质就是：在几何解题教学中，寻求解题方案的过程就是要经过题干条件、问题图形的分析和思考，分离找到其中隐含的基本图形，并应用这些基本图形的性质，使问题得到解决，通过几何图形的分类认识，几何基本图形的数量其实并不多，但是这些简单的几何基本图形的组合就构成了变幻无穷的平面几何学。因此，基本图形分析法对学生的几何学习来说，将复杂图形化繁为简，图形分离再分析，变成了一种简单易学、容易掌握并进行应用的方法。
在前面对于几何学习的学困分析中提到了学生几何学习的困难之一便是辅助线的添加，如何添加，如何想到这样添加，是否有规律可循，这也是几何学习最困难的地方。在几何解题教学中，运用基本图形分析法将几何问题中辅助线的添加，从原来着眼地“线”聚焦到“图形”上，正因为找到的基本图形在原有的图形中不完整，无法应用基本图形的性质，所以在应用性质之前必须将不完整的基本图形补完整，所以添辅助线可以理解为是将不完整的基本图形补充完整。因此，一旦找到基本图形，辅助线的添加也就自然而然了。因此在几何解题教学中，学生运用基本图形分析法，自然地剖析了几何问题的思维过程，每一个问题是如何一步步想出来的，几何基本图形如何画出来的，辅助线随着分析过程如何添加的。
二、基于基本图形分析法的初中数学解题路径
1、数学中常见的基本图形
这种积累基本图形途径的本质是:形成知识网络,优化认知结构,在这个积累知识的过程中,会形成越来越清晰的思维路径图,而这个思维路径图又会在基本图形积累中越来越牢固、越来越畅通。
例3:
(1)“叠加”探究基本图形
学习了三角形外角定理后,可以得到基本图形5。将两个基本图形5叠加可以组成基本图形2和基本图形6,再将两个基本图形6叠加又可以组成图3-2。
(2)“分解”探究基本图形
如图3-1,在基本图形4中,延长BP交AC于M,可以得到两个基本图形5。
(3)“互推”探究基本图形
我们在学习了邻补角的概念后,引入基本图形7,若CP和CP'分别平分∠ACB和∠ACD,则CP⊥CP'。如图3-3,在基本图形1中,作△ABC的外角∠ACD的平分线,交BP的延长线于P',根据基本图形7的结论,可以发现△PCP'是直角三角形,再由基本图形7可得∠BPC=90°+∠A,这样就可以将基本图形1和图形2联系起来。
(4)“结网”探究基本图形
整体观察上述思维路径图,可以发现其核心图形为基本图形5,观察从基本图形2到基本图形1、基本图形3的互相转化的过程,它们主要是依据基本图形7构造直角三角形,利用基本图形5将这三个结论串联起来,就可以达到“忆一个出一串”的效果。
2、“审题”中基本图形分析法的运用
如图1，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP。
图1
本题第(2)问是一道以平行四边形为背景图形的几何综合试题，因此我们首先要考虑使用平行四边形的性质。除此之外，联想我们所学的几何知识以及对相关综合几何试题的研究，常常还考查全等三角形的判定及性质，等腰或直角三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，有时有些问题还可以用四点共圆的判定及性质。此问如果从结论出发探寻解题路径，一是三条线段不在同一直线上，二是图形的线条较复杂，感觉无从下手。但经验告诉我们，越是线条复杂且综合性强的几何证明题，图形里隐藏的基本图形越多。有些基本图形是很容易直观发现的，但有些基本图形的呈现不完整，需要添加辅助线才能呈现出来。而基本图形中所得到的结论，则是通往目的地的桥梁。因此我们不妨先分析条件，观察一下图形中所存在的基本图形，看能否找到解题的方向。
3、“变式”中基本图形分析法的运用
在初中数学几何教学当中，学生经常会出现混淆概念的情况，这些与学生的思维方面存在着直接性的关系。数学概念本身不仅具有较强的抽象性，还具有较强的系统性和逻辑性。在实际的学习当中，如果学生不能够将概念的内涵和木质进行掌握，就不能够针对相应的几何问题加以有效地解答。
例如，在教学“线段的垂直平分和角平分线的性质”相关知识点的过程中，学生针对概念的理解和掌握就容易混淆和记错。学生在实际的解决问题当中，同样会将概念混用。
图2
如图2中角平分线性质所示，学生经常会将其表述成为:因为BE平分∠ABC,所以EF=ED。教师在针对学生所出现的错误进行正确引导的时候就可以使用变式教学，促使学生对角平分线角和线段垂直平分线的定理加以重复认识和理解。角平分线性质定理中的距离实际上就是直线之外的一点到这条直线之间的距离;垂直平分线性质定理中的距离实际上就是点到点的距离。在教师正确的变式教学引导之下，学生就能够正确地掌握和运用这些知识点，减少错误的产生。
4.开展数学实验，有效突破难点
在图形与几何的教学中，如何将晦涩难懂的几何知识直观形象地展现给学生，一直是数学教师孜孜探索的问题。由于信息技术能使视听结合、手眼并用，所以教师在教学过程中以教学内容和目标为依据，努力搭建信息化的数学实验平台，引导学生自主探究，化抽象为形象，降低数学学习难度，有效突破难点。
如《展开与折叠》一节，对于正方体的11种展开图，学生很难动手操作全部探索出来。教师可以鼓励学生先自己动手操作，尝试进行展开与折叠，然后再借助几何画板课件动态呈现11种展开与折叠的过程和方式，有效提升学习效率。研究圆柱的侧面展开图时，几何画板动态展示圆柱侧面展开图的展开过程，帮助学生理解圆柱的侧面展开图是长方形，发展学生的空间观念和几何直观，同时也为后面应用勾股定理解决最短路径问题奠定基础。
再如《三角形的中位线》一节，学生运用几何画板做数学实验，探究三角形的中位线与底边之间的关系（包括数量关系和位置关系），再运用演绎推理证明结论．
数学实验过程充分展现了知识的发生发展过程，把抽象枯燥的内容变得形象、直观，大大降低了学习难度．更重要的是在探究过程中引发了学生的“悟”，学生感悟到了从特殊到一般的数学思想方法，发展了合情推理能力和几何直观，提升了数学素养，激发了探索数学问题的欲望，培养了良好的思维品质，从而逐渐形成了正确的数学学习观．
三、结语
综上所述，任何一个几何图形，都是由一个或若干个基本图形组合而成的，当若干个基本图形组合而成为一个几何问题的时候，许多图形的性质就隐去，所以几何问题的分析和思考过程实质上就是要将这一综合过程逆过来进行，也就是要剖析并找到这些基本图形，并应用这些基本图形的性质，使问题得到解决。在平时教与学的过程中，教师要多引导学生积累常见的基本图形以及构建基本图形的方法，注重对基本图形的分析和挖掘，从而化难为易，打开通向结论的大门。解题中要勇于甩开熟悉的路，另辟蹊径，发挥创造性思维，收获意外惊喜。
参考文献：
[1]缪晓菊.基本图形在初中数学教学中的应用研究[J].中学数学,2018,(16):95-97.
[2]聂晓玲.初中数学基本图形分析法之我见[J].数码设计（下）,2018,(2):198.