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探寻解题之法，提炼一题一课

发表时间：2020/3/2 来源：《中小学教育》2020年第396期作者：李鑫

[导读] 在近几年中考数学复习的实践中，笔者发现一些教师和学生容易进入一个复习的“误区”，有的教师以题海战术式的演练，使学生每天承受着繁重的学习压力，而笔者认为中考复习更应该注重学生的思维与发展能力。

浙江省乐清市石帆第一中学　325600
        在近几年中考数学复习的实践中，笔者发现一些教师和学生容易进入一个复习的“误区”，有的教师以题海战术式的演练，使学生每天承受着繁重的学习压力，而笔者认为中考复习更应该注重学生的思维与发展能力。因此，本文通过对一道一次函数的综合应用问题的解法探究与问题变式，感悟解题之通法，对“一题一课”的教学设计进行了提炼，以期与同行分享。
        一、题目呈现
        如下图，直线y=-　 x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为    。



        本题是2018年温州中考填空第15题，综合了一次函数、30°直角三角形、等边三角形、三角形的面积公式与菱形的性质等知识，旨在考查学生的求函数与坐标轴的交点坐标，30°直角三角形的三边关系以及三角形的面积等计算能力。
        二、解法剖析
        解法1：延长DE交ｘ轴于点Ｆ因为直线y=- 　x+4得到A（4　3，0），B（0，4）即OA=4　3,OB=4，∴∠OBA＝60°,由Ｃ是OB的中点得到OC=2,又在菱形OEDC中，∴∠EOF＝30°,∠OBA＝90°,OE=2,∴EF=1,∴S△OAE=　×1×4　3＝2　3。此法是直接法，求三角形的面积只要求出OA边上的高EF，在30°的Rt△OEF中求EF。
        解法2:由直线y=- 　x+4得到OA=4　3,OB=4，∴∠OBA=60°，ＡＢ=８,由Ｃ是ＯＢ的中点得到ＯＣ=2,又在菱形OEDC中，∴ＢＤ=ＤＥ=2,ＡＤ＝６，又由ＤＥ∥ＯＣ得到△ＡＤＦ～△ＡＢＯ，∴ＤＦ=３，∴EF=1,∴S△OAE=　×1×4　3＝2　3。此法是直接求出ＯＡ边上的高ＥＦ用直角三角形相似或三角函数。
        解法3：此法是利用建构三角形中位线的基本图形，连结ＣＥ并延长交ＯＡ于点Ｐ，求△ＡＯＥ的面积转化成求△ＰＯＣ面积。由直线y=- 　x+4得到OA=4　3,OB=4，∴∠OBA＝60°，由Ｃ是ＯＢ的中点得到ＯＣ=2,再加上四边形OEDC是菱形，易得△OCE是正三角形，∠OEP=120°，从而得到Ｅ是ＰＣ的中点，Ｐ是ＯＡ的中点，∴S△OAE=S△POC=　×2×2　3＝2　3。

        三、改编拓展　
        改编１:改变直线的解析式，将直线y=- 　x+4变式为直线y=-　x+3。
        改编说明：改变直线的解析式，从三角形的特殊性考虑，可以将直线改为直线y=-　3x+4、y=-x+4等。
        改编2：如右图，点Ｃ的坐标为（0,2），∠ＣＯＥ=60°，Ｅ在第一象限，且四边形OＥＤＣ是菱形，反比例函数y=　（k＞0）经过ＤＥ的中点Ｆ，交ＣＤ于点Ｇ，则△ＤＧＦ的面积为　    。
        改编说明：从图形的角度考虑，直线变曲线，比如引入反比例函数、二次函数也是不错的选择。
        改编3: 如改编2中的图，直线y=- 　x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB上的一个动点，∠ＣＯＥ=60°，Ｅ在第一象限，且四边形OEDC是菱形，当OC=2BC时，则△DGF的面积为　    。
        改编说明：点Ｃ是ＯＢ的中点，非常特殊，可将点Ｃ动起来，继续研究面积问题。
        四、提炼“一题一课”
        笔者对“一题一课”的教学设计进行了如下提炼：
        1.看似比较简单试题的设计策略

        针对2018年温州第15题，可选择第1种进行教学设计。
        （1）开门见山，原题呈现。此题难度不大，直接呈现原题，引导学生分析题目中的条件，从多角度引导学生进行思考，针对学生的解法，进行方法的归纳与提炼。
        （2）自主编题，动态生成。通过条件或结论开放，引导学生得出更多的资源，比如：图中OD与AB垂直。
        （3）引导编题，提出问题。要想让学生提出问题，教师先要给学生一定的指向性，可参考上面我的改编3。
        （4）变式拓展，提升思维。继续探究，设OC=a，△DFG面积与a的函数关系．或直线变曲线进行研究（见改编2）。
        参考文献
        [1]吴立建 “一题一课”理念下的教学实施[J].江苏，2018，（2）。
        [2]俞卫胜章才岔关注基本图形渗透数学思想——2017年温州中考第24题解法赏析与教学启示[J].中学数学(上)，2018，（5）。