李海国
宁夏灵武市教师培训和教学研究中心 宁夏 灵武 751400
【摘要】：画图策略的价值在于：图的直观性利于理解；利于图像表征向图式表征转变；利于形成分数乘法的模型图式。画图的教学策略有：鼓励学生画不同的图并表达自己的想法；鼓励学生在图中进行标注；鼓励学生根据图分析数量关系。
【关键词】：画图策略、图象表征、图式表征。
理解和表征问题是解决问题的关键环节，但学生解决应用题存在问题表征障碍【[【】段志军. 分数应用题的解答障碍与转化对策【D】.陕西师范大学，2002年.]】，学生在对关键句，关系语句，单位“1” 辨认、分率与数量的对应方面存在很大问题，原因是学生对问题的起始状态、中间状态与目标状态缺少正确深入的理解，没有形成准确完整的问题表征而导致的。特别是学困生易采用直译式方式解决，直接跳过此环节，所以要让学生正确解决问题，必须学会理解和表征问题。而画图策略可以有效地帮助学生理解问题、分析问题中的数量关系。
1.画图策略的价值
（1）图的直观性利于理解
五年级的学生正处于具体形象思维向抽象思维过渡的时期，以前用图像表征问题也开始慢慢过渡成图式表征，这个转变的过程是需要教师的干预与引导的。本身分数应用题就比较抽象，在现实生活中学生见的少、用的少，用图的直观引导学生化抽象为直观。
（2）利于图像表征向图式表征转变
学生在解答“一桶油第一次吃了3千克，第二次吃了余下的，还剩下2千克，这桶油几千克？”学生在画图时首先在脑海出现一桶油的图像，然后可以用长方形、圆、一条线段等不同图式来表示一桶油，逐渐抽象，由关注具体事物到关注数量之间的关系，在一步步的抽象中实现图像表征向图式表片的转换，如图1所示。
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图 1 图像表征向图式表征渐变过程
由此看出画图是可以促进学生由图像表征向图式表征转变的，图式表征也是可以有效帮助学生分析数量关系的。
（3）利于形成分数乘法的模型图式
在皮亚杰认知发展理论中，图式是指一个有组织、可重复的行为模式或心理结构，是一种认知结构的单元。一个人的全部图式组成一个人的认知结构。在学生开始学习分数乘法时，就可以利用图来建立学生的分数乘法模型。
第一种情况：整体与部分的关系，如一本书400页，看了，看了多少页？学生可以尝试画出不同的图，如图2所示。第④图把单位“1”的数量与的数量标示出来，更能清楚的看出哪段是整体的数量，哪段是部分的数量。
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图 2 整体与部分关系的不同图式
另一种情况：两个不同数量之间的关系，这种关系学生不容易理解，可以采用线段图的动画效果来理解。如“二年级植树80棵，一年级植树的棵树是二年级的，二年级植树是多少？” 这道题可以先画出单位“1”二年级植树的数量，再把它平均分成5份，取出其中的3份长的线段平移到下面，这3份就表示一年级的植树数量，也就是80的是多少。如图3所示。
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图 3 一个数是另一个数的几分几的线段图的动画演示
此时如果一年级数量继续增加，与二年级数量一致时，比二年级还要1分时，通过此课件的动画效果，让学生突破“1”的局限。利用算式，进行正迁移，一个数的几分之几，这个分率可以是假分数，计算方法是一样的。
2.画图的教学策略
为了让学生在解决分数应用题中能运用画图策略理解分析问题，因此在教学中针对画图策略开展以下教学策略：
（1）鼓励学生画不同的图并表达自己的想法
刚开始画图，学生有胆怯、不知道怎么画，教师及时鼓励学生画，给学生介绍画图可分为具体事物图，示意图，线段图，关系图等。（具体事物图、示意图一般为图像表征，线段图、关系图为图式表征，相比较而言，图式表征也更为抽象，是从图像表征中一步一步抽象而来的。）画完以后，组织学生交流，说出自己画图的想法，并在相互评价中进行改进，渐渐从比较粗糙的事物图、示意图过渡到会画线段图，实际上也就是帮助学生从具体的图像表征转化为抽象的图式表征。同时也要引导学生看懂图，说出图中的已知条件，问题是什么。如小明有6张邮票，小李是小明的，小李多少张？学生可以画出6个长方形表示6张邮票的示意图，如果小明有60张呢，该如何画？你还愿意一张张的来画吗？促进学生的画图向抽象过渡，引导学生用大括号表示已知条件和问题，从中感悟括号的位置不同，所表示的问题就不同，让学生看图说出每个括号所表示的是什么。在这里体现的就是数形结合的思想，以形助数，以数解形。
（2）鼓励学生在图中进行标注
画出图一定就能解答吗？在测试中，有一道两步的分应用题，4位学生都画出了图，如图6所示，只有生1解答错误，原因何在？
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图 4 “一条路修了后还剩300米”的学生图
比较学生所画的图可以看出，图画出来后，必须对条件和问题进行分析，找到分率所对应的数量是多少，如果不标出来就容易混淆。从中得到启发，教学中要让学生进行标注，在图中找到单位“1”的数量，分率与对应的数量要一一对应，标注的过程既是明确已知条件问题的过程，也是初步分析问题的一个过程。
（3）鼓励学生根据图分析数量关系
把图画出来并进行标注，只是对问题的一个初步的分析，接下来还要进行具体深入的分析，才能找到问题与已知条件的“桥梁”，也就是要找到数量之间的等量关系。下面结合具体案例加以说明：
问题：某校一年级学生植树300棵，二年级比一年级多植，二年级学生植树多少棵？
学生在画这样的问题时，往往对不理解，不知道如何来画，不知道所表示的意义？如图7所示。这是从优秀学生的作业中发现的问题，并对其访谈才知道学生的想法是什么，学生根据整数比较多少的方法，甲比乙多几，乙就比甲少几，从而错误的认为：二年级比一年级多，反过来说一年级就比二年级少。正如有研究表明，学生常常是非常有逻辑地或“聪明”地犯错误，很少有错误是随机的、偶然的，他们通常应用某些错误的规则或程序来回答问题或解决问题【[【】陈琦、刘儒德主编.当代教育心理学【M】.北京：北京师范大学出版社，2008年.]】。
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图 5“ 二年级比一年级多”学生的错误线段图
针对以上这些问题，首先通过画图解除整数数量比较带给学生分率比较的负迁移。如母鸡5只公鸡4只，让学生填空：公鸡是母鸡的，公鸡比母鸡少，母鸡是公鸡的，母鸡比公鸡多，填空中讨论，在用分率表示多少几分之几是要找单位“1”是谁，是把单位“1”平均分成了几份，进而确定一份是几分之几，然后判断多（少）几分之几，具体就是让学生说出分母分子各表示什么。整数比较的是具体的数量，是绝对的；而分数是把多（少）的数量与标准量进行比较的，是多（少）的数量占单位“1”数量的几分之几，要考虑单位“1”的量，是相对性的。其次在教学中先让学生讨论的意思，什么情况下才能说是多了。多的这一部分数量为了形象直观，就与两年级同样多的部分进行比较，也就是把相同的部分平均分成五份，多的部分正好是它的。通过这样的讨论，学生明确了是把谁平均分了，也就知道了单位“1”是谁。进一步通过看图分析，得出一年级植树数量和二年级植树数量之间的关系：二年级植树数量=一年级植树数量+一年级植树数量×。画图出来不是目的，画图必须与分数应用题的基本结构相结合，与分析数量关系相结合利用图找到数量关系，才能提高学生分析问题的能力。
总之，画图策略在教学中的应用，是有利于学生分析分数问题的中的数量关系，正确解决分数问题。
参考文献
［1］段志军. 分数应用题的解答障碍与转化对策【D】.陕西师范大学，2002年.
［2］中华人民共和国教育部制定.数学课程标准（2011年版）【M】.北京：北京师范大学出版社，2012年.
［3］陈琦、刘儒德主编.当代教育心理学【M】.北京：北京师范大学出版社，2008年.
［4］《教学系统化设计》何克抗、郑永析、谢幼如编著，北京师范大学出版社；