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简算“意”中求

发表时间：2020/8/18 来源：《中小学教育》2020年8月3期作者：胡君

[导读]

胡君四川省乐山市夹江县第一小学校
中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982 （2020）08-066-03

        《数学新课程标准》在第二学段中明确指出：“探索和应用运算定律，能运用运算定律进行一些简便计算”，而人教版教材已经对运算定律教学也有了比较清晰的编排，重数形结合，重数的意义的理解，重运算与应用的结合教学等意图尤为突出。但是在我们在教学中学生总是出现“一学就会，一做就错”的情况，看来“简便计算”不“简单”。回头审视我们的目前的简算教学实际，的确存在着一些问题：
        一、问题归因：
        （一）简算意识淡薄
        在一次关于六年级体积的复习课中，教师出示：“某牙膏出口处的直径为5毫米，贝贝每次刷牙都挤出10毫米长的牙膏。这样，一支牙膏可用360次。后来，该品牌牙膏推出新包装（容量不变），只把出口处的直径该为6毫米。贝贝还是习惯性地每次挤出10毫米的牙膏。这样，这支牙膏只能用多少次？”反馈的结果令人惊讶，在思考几分钟左右后，近30名学生能清楚地说出解决问题的思路，但是班中只有3位学生算出了结果。在其它另5个班的测试中情况类似。为什么会出现这样的情况呢？
        带着困惑，我用二次测试的方式对六年级2个班83位学生进行调查。第一次是用解决问题的方式，结果如下：
        题目用简算学生数所占比率
        每千克苹果8.8元，买了10.1千克需要花多少钱？ 4 约5%
        一列高铁从成都站出发开往峨眉山站，车上有278人，到达眉山站后上来94人，下车178人，这时车上有多少人？ 26 约31%
        两块长方形的地，一块长23米，宽19米，另一块长19米，宽17米，这两块地一共多少平方米？ 27 约33%
        工人师傅准备给动车做电焊，如果每组13人，可以分成18组，如果每组6人，可以分成几组？ 2 约2%
        结论：第一次测试中，83位学生中没有4道题都用简算的，第三题想到简算的学生最多。
        第二次是明确用简便方法，结果如下：
        题目用简算且正确学生数所占比率
        8．8×10.1 57 69%
        1278+94-178 72 87%
        23×19+19×17 71 86%
        18×13÷6 76 92%
        结论：第二次测试中，83位学生中全部用简算且正确的有39人，占总数的47%。错误的学生中，方法正确、计算错误占的比率很大，错3道及以上的共7人，占总数的8%。
        看来学生在解决问题时前后割裂的现象比较普遍。较多的学生关注的是解题的思路，很少在计算题目时先观察、思考能不能简便，怎样简便比较好。而一旦有简单要求时，学生才会去思考如何简便，而没有简算要求时学生做计算仿佛与简算绝缘了。这种现象是普遍的，如何来解决这个问题呢？应引发我们深思。
        （二）运算定律使用不当
        简算教学历来是数学教学的一个难点，学困生学习有相当困难。为了帮助学生理解，很多教师往往引导学生关注凑整、关注数字特点、关注简单建模。这样简单粗暴处理的直接后果当然也是严重的。如：24 + 24×5，123×4÷123×4或者346-57+43，在刚学四则混合运算时学生计算正确率很高，但学完运算定律后，反而错误率很高。那是因为学习运算定律时学生没有深刻认识到运算定律的本质，在碰到上述似是而非的式题时，则还用运算定律的模型去套，殊不知本质变了，一切都变了。
        透过事件本身分析，课堂上功利性的应试教学可能会在短时间内让学生在成绩方面有所提升，但是这样一来，学生的理解没有深入到问题本质，特别是对学生后续的可持续发展是不利的，对学生的数学思考能力的培养是破坏性的。这种治根不治本的教学需要教师改辕易辙，充分考虑学生数学学习的特点、认知规律和心理特征，寻找有利引发学生的数学思考、适合全体学生的简算的策略。
        简算能力的培养归根到底就是数感与运算能力的培养，它需要经历观察、思考“能不能简便”、“为什么可以这么算”或“为什么不能那样算”这两个步骤，在计算过程中既要对计算过程有理有据还要尽可能寻求合理简洁的运算途径来解决问题。基于以上思考，如何让学生对运算的意义在情境、图形等手段借助下更加清晰明了，如何对教材编排进行合理整合，让“简算”和“不能简算”在比较中逐步深入、系统的认识，如何让学生对除法和分数的转换进行更深层次的认识，运用商不变或分数基本性质进行简算，从而真正引发学生的数学思考，提高学生的简算能力，笔者认为功夫更在学生学简算的时间之外，所谓“千日助力一朝简”，教师在平时把功夫花足了，学生在简算时方能得心应手。那么平时该怎么做呢？
        二、方法与策略：
        （一）聚焦意义，追根溯源
        1.定位意义，诠释法则
        简算说到底是四则运算的简便方法，它的根基还是在四则运算。让我们来重读下教材。四则运算法则的正式出现是在四年级下册第一单元，教材中明确规定了只有加减和乘除、既有加减又有乘除和有括号的运算法则。这些法则的背后，为什么要这样？是不是一定是这样？理解和解释这些法则关键在对加法、减法、乘法、除法意义的理解。比如加法的本质就是合并，减法的本质是扣除，如230-140+60，就是从230扣除140后，得出的结果再与60合并起来，所以我们可以从左往右计算。再如600-70×3 ，为什么要先算乘法呢？因为算式表示的是从600里面扣除3个70的和，那么应该先算70×3，再算减法。如果要先算减法，那么应该要给600-70添上括号，再乘3，表示的意义是求3个530的和是多少，括号就是起到了改变运算顺序的作用。总而言之，对意义的理解是否清晰不仅能让学生理解了运算法则，更重要的是这个道理背后的支撑依据更加清晰明了了，自然在后续的简算中能融会贯通。
        2.理解意义，孕育定律
        运算定律是小学简算的重要依据，通常我们也会结合生活情境的引入来加以解释说明。它的具体出现也是在四年级下册，其实在之前书上就有出现，那么我们是怎样来解释的呢？如三年级上册学习了万以内加法后，计算445+298明确要求检验，其实我们就在用加法交换律。如果学生明白445+298就是把两个数合并成一个数，就像两个口袋中的钱，既可以左口袋的钱加上右口袋的钱，又可以把右口袋的钱加上左口袋的钱，这样生活经验的支撑对于学生的理解帮助是很大的。除了列竖式，教材明确提出了：“还有什么简便的方法吗？”把298看作300，简便意识的培养在这里悄然而至。学生直觉可以用445+300-2，教师可以继续追问：还有别的好方法吗？学生想到445里拿出2给298，同样把298凑成了300，这就是和不变的性质。看来在运算定律及一些性质还没有教的情况下，丝毫不影响教师渗透简便的意识，而支撑简便运算的恰就是运算的意义。如上述例子，正因为是把445和298合并，为了简便我可以当作加上300，多加了2就要扣除2，也可以从445里面拿出2送给298，使计算简便。
        又如四年级上册三位数乘两位数计算教学中求134乘12，在独立尝试后反馈中，要把134×10+134×2与竖式建立沟通和联系，这就必须要学生明白134×12的意义，就是求12个134的和是多少？不管是134×10+134×2还是竖式都是在求2个134与10个134的和，基于意义的理解既让学生明白了算理，更为后续的乘法分配律的学习做了很好的铺垫。
        总之，在平时的计算教学中，教师要树立明确的意识：不能只为当堂的学生计算目标达成服务，更要为后续学生的简便运算考虑，挖掘教材资源，为学生运算律的初步认识打下基础。相信这样长期的渗透对学生来说，影响也是深远的。
        3.借助意义，甄别差异
        通过大量的观察积累，笔者发现：在计算时学生没有养成先理解题意再做的好习惯，是错误的主要原因。

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因此，我们认为学生只有真正在关注算式的意义时，才能抛弃机械的记忆和生搬硬套。如在三年级出现的346-57+43，错误率较高。在讲评中笔者尝试通过课堂强化，式题对比，估算结果，说运算意义这四步来突破难点。
        （1）针对类似346-（57+43）的错误解法，教师可以在平时的课堂上：板书346-43-57，346-（43+57），为什么346-43-57就是346-100？你能举个生活中的例子吗？你能用手势来表达这道题的意思吗？这样的意义理解让学生明白了减法性质的意义，让学生一开始与346-57+43区别开来。
        （2）式题对比促理解：346-57+43，346-43+57先观察一下这两题的结果一样吗？请说明理由。
        （3）估算来帮忙：估测一下，346-57+43，346-43+57哪个结果比346大，哪个结果比346小，你是怎么思考的？通过举例子和手势让学生感悟第一题是扣除的多，补回的少。第二题是扣除的少，补回的多。
        （4）意义助验算：346-57+43实际是扣除了14,346-43+57实际是补回了14，所以实际结果应该与这个意义相同。
        长期的关注式子本质的意义就能纠正一些错误的思维，知道了为什么可以这样，为什么不可以那样，这样的训练让学生会在计算时想算式的意义，而去抛却数字的特点采用错误的简便方法。
        4.重复意义，温故知新
        在新授课时，教师都比较重视情境的引入和模式的提炼。在教学中笔者发现后续教学更应重视结合生活实际和重复运算意义教学，来解释算式的意义。正如平面几何教学因其形象性常需“式形对照”。比如长方形面积公式的推导过程是这样的：课堂上，学生通过操作实践，明确了长代表长边放几个1厘米的格子，宽代表宽边放几个厘米的格子，长×宽其实是每行个数×行数。练习中也要多加反问：你的列式让你头脑中呈现出什么样的图？这样既能让学生明白公式的由来，也能加深面积意义的理解，与周长的区别的难点突破也能水到渠成了。简算教学也可以参考，比如：567+359-367，让学生根据这个算式能否来编个生活情境。这时学生的思维是活跃的，有收入359元再支出367元的，有进来359人，出去367人的等等。让学生体会到加、减表示的是相反意义，这时学生也自然想到了可以先减367再加上359。同理567+359-259；567+359-459等学生也会简算了，意义的深刻认识能让学生面对这类题都能触类旁通。
        因此，教师在教学中，即使学生能熟练进行简算了，我们也有必要追问为什么可以这样算，让运算意义一直与解释算理紧密结合，才能让学生单调的式题训练也有思辨性，真正做到有理有据。
        （二）调整教材，整合教学
        1.调整教材，培养简算意识
        四年级下册把四则混合运算与简算分成2个单元教学，虽然有内容上的递进，但笔者却有个人看法。这样人为割裂同为计算的内容，看似减轻了学生的负担，实则让学生更多关注了算式外在的形式，也直接导致了学生简便意识的缺乏。比如在四下混合运算法则教学中指出：“在一个算式里如果只有加减或只有乘除，可以从左往右计算。”这句话本身没有错误，但是如果在一开始我们就把“可以”改成“一般”，那可能会出现特殊的效果。如：257+784-409和257+784-484两题，教师可以先让学生尝试计算，班中大部分学生可能从左往右计算，这时在小结中可以引导学生思考还可以怎么做？学生会想到第二题可以先用784-484再与257相加。这样的教学过程让学生感悟到只有加减法时除了从左往右的方法，还可以改变运算顺序，使计算简便。当然，这样的改变一定要学生能举例子说服大家，即用加减法的意义来支撑，效果肯定是事半功倍的。通过研究发现，打破教材结构、混合编排确实是提高了学习难度，起初对于后进学生有一定的困难，但是意义也是显而易见的。混合编排一开始就让学生去观察算式的符号与数的特征，直击运算的意义，能系统的培养学生的数感，提升学生的运算能力。更重要的是教师可以设计一部分习题，让学生亲身体验简便的不用简便的很繁琐，才能激发学生简便运算的意识，这也是建议整合教学的重要原因。
        2.调整教材，提高辨析能力
        另外，笔者认为把四则混合运算和简算分开教学，会让学生出现学习困惑。如765-478+235；256-（156-78）等，在第一单元时学生按照从左往右和先算小括号里的，但是在简算单元后出现了变化，这种前后悬殊比较大的体验对容易先入为主的学生特别是后进生来说，确实很难适应。长此以往，教师教得累，学生学得苦，这样有学生对计算产生了抵触情绪也在所难免了。
        我们认为，整合教学的本质就在于一开始就进行简算和不能简算的辨析。当然这里我们必须要承认学生间的个体差异，但是我们的核心是一致的，说清意义，借助生活情境来帮助辨析。我们不关注你运用的是什么定律，而是要说清为什么可以这样，为什么不可以那样。
        如上面256-（156-78）的教学，学生可能会出现这样3种情况：
        ①原式=256-78=178；②原式=256-156-78=22；③原式=256-156+78=178，教师一开始就让学生借助生活表象进行辨析，说清这样做的理由，后进生就不会出现前面会做，学了运算定律后反而不会做的情形。
        （三）利用转化，渗透思想
        1．除法转化成分数形式，可以进行约分
        教材在教学分数乘整数和分数乘分数时，特意强调了：为了简便，能约分的先约分。学生对这个分数能约分的体会很深刻，却对整式中的约分没有感觉。主要原因是，学生对除法和分数的转化意识不强，导致能简算的没有用简算，计算繁琐，正确率低。如前面提到的“牙膏”问题，学生列式：（10×2.5×2.5π×360）÷(3×3π×10),如果能转化成整式，那么就能约分，使计算简便。这样的例子还有很多，经常性地进行转化既能提高正确率，更重要的是提升了学生的运算能力，能对数学产生兴趣，激励他的潜质。因此，我们在分数教学时，就要注意分数与除法关系的沟通。另外，多鼓励学生列综合算式。列综合算式除了让学生思维保持连贯性外，还有一个重要原因就是通过转化，能利用运算定律或约分使计算简便。
        2．简写转化成标准形式，可以发现规律
        观察、比较、发现是简算的重要组成部分。特别是一些较难发现简算的题目，教师可以引导学生发现其中的规律，并引导学生书写成标准的格式，这样可以方便学生发现规律，对简算的认识更深刻。乘法分配律学完以后，教师可以引导学生发现乘法分配律隐藏的数字规律：a×c+b×c=（a+b）×c，数字c重复出现，可以使用乘法分配律进行简算。在类似99×1.48+1.48或101×3.76-3.76的题中，因为形式的问题，不少同学很难发现其中规律，如果改作99×1.48+1.48×1或101×3.76-3.76×1，就能起到较好的作用。又如关注能凑成整百整千数如：34×480+340×52，刚开始学生很难想到经过转化可以运用乘法分配律，这里的34×480既可以通过乘法结合律，也可以通过积不变的性质得到340×48，这样整个算式就表示为48个340的和加上52个340的和，即100个340的和。这道题我们教师可以把它当作一颗种子，方便学生举一反三，提高这类题的解题能力。如3.5×9.9+0.35，9999×2222+3333×3334等。
        3．一般数据转化成特殊数据，可以用足定律
        简算中很多特殊数据往往是解题的钥匙，教师在平时应不断给学生强化练习：如教加法结合律时可以让学生想想875和谁可以凑整千，86和谁可以凑整百；教乘法结合律时可以做类似的找朋友游戏，25的朋友是4,125的朋友是8……数感的培养可以方便学生在后续计算时进行快速反应，提高计算能力。为防止枯燥，还可以进行一些编题训练。比如给学生25，4，78，22，780这5个数，自主编一些题，要求能简算。学生编了很多题，如25×78×4，25×78+25×22，780-78-22，780÷25÷4等。编题的过程也是简算定律的复习和检阅，学生乐在其中，自然不觉得简算是个困难的事情了。
        4．成败转化成经验，可以提升认知
        任何教学都不能忽视学生的主动参与和自我反思，这也是学生积累学习经验的主要过程。教师可以引导学生把今天最感兴趣的写下来，把得失进行小结，能完善经验、积累经验。比如编题训练中，你是怎么思考的，你想用什么方法，我想到了什么，通过交流我又知道了什么，通过日记的形式进行回顾小结。教师对学生的小结给予重视和分析，能提升学生学习的信心。
简算作为“数与代数”的重要板块，完善了学生对运算意义的理解，对后续学习起着重要作用。我们教师应努力提升理念，站在培养“发展型”学生的高度，发掘身边的教学资源，重在平时积累，积极引导学生深入探索，为学生建立健全完整的简便意识作出努力!
【参考文献】
1、贾福禄，拓展计算教学的“效度”空间[J]，小学教学参考，2010年14期
2、常永泉，浅谈新理念下计算教学的有效性[J]，小学教学参考，2010年32期