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高等数学中的微、积分在物理中的应用

发表时间：2020/3/2 来源：《中小学教育》2020年第396期作者：周继东

[导读] 计算正弦交流电的电功、电功率时，电压、电流要用交流电的有效值，但学生在求正弦交流电的有效值时，死记书中的公式，任何时候都套用书中的公式，有时就会出现错误。

重庆市丰都中学校　408200
        摘　要：计算正弦交流电的电功、电功率时，电压、电流要用交流电的有效值，但学生在求正弦交流电的有效值时，死记书中的公式，任何时候都套用书中的公式，有时就会出现错误。
        关键词：数学微积分　交流电　有效值
        一、问题的提出
        在2014年出版的高三复习资料《创新设计》第十章第一节《交流电的产生和描述》中，课后随堂演练第（5）题，参考答案选择的正确选项是A、C，对此选项提出了质疑。笔者也在网上搜索到该题，对该题C项的选择各不相同，有的选择为正确选项，有的确定为错误选项。试题如下：如下图所示，面积为S的矩形线圈共N匝，线圈总电阻为R，在磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中以竖直线OO′为轴，以角速度ω匀速旋转，图示位置C与纸面共面，位置A与位置C成45°角，线圈从位置A转过90°到达位置B的过程中，下列说法正确的是（　）。




        其中t1时刻对应图(1)中的位置A，t2时刻对应图(1)中的位置B；从位置A到位置B的过程，△t=t2-t1=　。利用微分的思想，把△t时间分成若干多个极短时间间隔△t1、△t2、△t3……等，在这极短的时间间隔内,交流电的电动势分别为E1、E2、E3……等，E1、E2、E3……在极短的时间间隔内是不变的，所以，根据交流电有效值的定义，设在△t时间内交流电电动势的有效值为E，则有　?　=　?△t1+　?△t2+……
        3.利用高等数学中的积分知识，即　?　=　[E12?△t1+E22?△t2+……]
        =　　（NBωSsinωt）2dt
        =　　　　　sin2ωt?dt
        =　　　　　　（1-cos2ωt）dt
        =　　　　（　　dt-　　cos2ωtdt）
        =　　　　[　(　T-　T)-(　 sin2ω?　T-　 sin2ω?　T)]
        =　　　　[　T-　 (sin　ωT-sin　ωT)]
        =　　　　[　T-　 (sin　 -sin　)]
        =　　　　(　T+　 )
        =　　　　(　T+　 T)
        所以，△t时间内交流电电动势的有效值：
        E=NBωS　　+　
        线圈中交流电做功为：
        W=　?　=　　
        =　　　(NBωS)2(　+　)
        =　　　　　+　　　　＞　　　　
        故C选项是错误的。
        从上题的讨论可以看到，我们计算交流电在电阻中的电功、电热时，必须要用交流电的有效值，时间间隔t为周期的整数倍时，则交流电的有效值的计算才能用U=　， I= 　。
        参考文献
        [1]张大昌高中物理选修3-2[M].人民教育出版社，2010，71-74。
        [2]周城璧高等数学.四川大学数学系高等数学教研室编。