左小平
南京市五老村小学
[摘要]学生之间的差异是客观存在的，归根结底是学生思维之间的差异。课堂教学中如何直面学生思维之间的差异，让学生在课堂中实现“真学习”成为一线教师关注的重点。本文在分析思维可视化与课堂中真学习之间的关系以及当下思维可视化的基本样态的基础之上提出：基于学生思维可视化，通过“以退为进”、“层层递进”、“齐头并进”为实现“真学习”提供一种途径。
[关键词]思维可视化；真学习
近年来，每一次执教公开课都会试图翻阅手边杂志，寻找“灵感”，试图“玩出新花样”。然而，数学课堂需要关注的不是教学设计的花哨与课堂的热闹，而是学生思维上有没有得到发展。致力于促进不同学生思维的发展应成为新课程背景下课堂教学的应然追求。基于此，笔者试图在学生的思维上做文章，让不同的学生在原有的基础之上得到充分的发展！如果能够在实际教学中发现不同儿童的思维（即思维可视化），就能够化学生的数学思维发展路径，提升数学思维品质，从而让学生在课堂中实现“真学习”。
一、思维可视化与课堂中的“真学习”
1.思维可视化的内涵。
思维研究者认为：人的大脑接受外界的信息后，通过各种复杂的神经回路对信息加工处理的过程就是思维。可以简单理解为，思维是一种信息处理的过程。而数学思维就是用数学的观点思考问题和解决问题。实际教学中每个学生都是独立的个体，由于自身生活经验和学习经验的不同，个体思维方式也就不同。可视化可以指通过语言的表达、手中操作、形象的图示等方法，将抽象不可见的事物直观展现出来的一种方式。
思维可视化这一概念最初由华东师范大学刘濯源主任提出。思维可视化是指运用一系列图示技术，把本来不可视的思维(思考方法和思考路径)呈现出来，使其成为清晰可见的过程。
2.对课堂中“真学习”的理解。
当下的课堂都在聚焦学习方式的改变，这种改变不仅要关注学生课堂中学什么，还要关注怎么学；不仅要关注学习结果，还要关注学习过程；不仅要关注学生有没有“学会”，还要关注学生有没有“会学”。在此基础上提出“真学习”，即真实学习。针对课堂中普遍存在的虚假学习、浅层学习的问题而提出。教学不是传递信息的过程，而是帮助学生加工信息的过程，也是促进每位学生发生真实学习的过程。
学生是否能在课堂中实现“真学习”可以观察这样几方面：（1）课堂中是否留下了“学”的痕迹；（2）学生是否经历了“学”的过程；（3）学生是否获得了“学”的进阶。
综上所述，学生在课堂中数学思维的生长可以作为判断“真学习”是否发生的依据。因此思维可视化的提出也就应运而生，它能够让教学聚焦课堂，从“预见思维”走向“遇见思维”；让数学思维之花，从“百花齐放”到“百家争鸣”。
二、思维可视化的基本样态
提到思维可视化最容易想到思维导图、鱼骨图、树状图等，这些都是思维可视化的一种呈现方式，但不是唯一的方式。常态课中学生思维可视化的基本样态有这样几种：
1.问题引领。
对话是思维外显的一种方式，深度对话可以将学生思考的过程展现出来。课堂中以问题为载体，实现师生之间、生生之间的深度对话，将学生的思维引向深处。深度对话的基本结构如下：一说，鼓励学生清晰地表达自己的想法；二辩，实现不同思维之间的碰撞；三悟，感悟不同方法之间的勾连。
案例：五年级上册《平行四边形的面积》为例。
在按照教材的编排顺序探索平行四边形的面积计算时，学生很容易想到将平行四边形转化成长方形，从而根据长方形的面积计算推导出平行四边形的面积计算。教师提出问题：
（1）为什么将平行四边形转化成长方形？
（2）转化前后的两个图形之间有什么联系？
（3）不同的转化方法之间有什么相同点？
通过这样的问题引领，直面不同学生的思维，在对话中实现思维之间的碰撞，从而不断
进行意义建构，既沟通了知识之间的联系，启发学生把问题想的更加深入更加透彻，又让学生的思维走得更深入。
2.图形表征。
思维存在于大脑中，不像具体的知识那样“看得见，摸得着”。数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”。数形结合是小学生理解数学的重要方法，因为小学阶段儿童的思维处于具体验算阶段，他们对知识的理解有时需要借助图形表征的方式。所谓的图像表征是指基于学生的已有经验，对新知的理解，用图示或演算等形式将头脑中的想法表示出来，从而参与到学习活动中去。
案例：五年级上册《解决问题策略》为例。
课堂中学生解决“王叔叔用22根1米长的木条围成一个长方形花圃，怎样围面积最大？”问题后，大致的方法有这样几种：
在学生多元表征自己的研究结果中，图示表征是最常见的。这种表征方式不但能够用看清学生的思维方式，也能够看出学生思考过程中产生的疑惑和问题，更能看出不同的学生思维过程有相同的地方，也有不同的地方，但学生本人或许没有意识到自己的思维过程是否完整。这就需要在课堂中呈现出来，进行探讨，激发学生的需求，推动学生的思维发展。
3.具象操作。
教育家杜威说，“一盎司的经验胜过一吨的理论。”学生的基本活动经验反映了学生个体对数学的真实理解，它产生于学生的数学学习过程之中，教学中可以通过具体的操作呈现学生的思维。
案例：五年级上册《小数的认识》为例
本节课教学，笔者没有遵循书中原有的设计进行教学，而是为学生提供了一把没有具体刻度的米尺（只有0和1米两个刻度）和50厘米、10厘米、15厘米、135毫米几根不同长度的吸管。
借助度量的模型，结合具体操作，为了精确测量（长度为0.1米）小棒，学生需要在0和1之间继续均分，有的学生通过“比对”将米尺平均分成10份；有的学生通过“对折”发现无法表达时，结合已有的知识经验（整数计数中的十进制）想到了10等分。无论哪种方式，都充分调动了学生的已有生活经验和知识经验，抓住分数和小数之间的内在关联，初步构建一位小数的意义，既把握了学生的认知起点，又为新知的学习提供了“发展区”。
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小数有时是看出来的，有时是需要想象的。有了刚才细分单位的经验，两位小数、三位小数的教学就为不同思维层次的学生提供了选择，有学生需要进一步细分单位，有的学生直接展开想象、推理，三位小数的意义乃至更多位小数理解自然会“融会贯通”，打开了数学学习的“天花板”。
“思维自动作开始”，数学实验是学生积累基本活动的经验，获得思维提升的重要方式。上述方法中将平均分这一动手操作作为学生建构小数意义的载体，学生自主地在具体直观操作和抽象小数意义之间建构模型，为学生提供思考的时间和空间，课堂中给予学生表达思维的机会，实现了具体操作到思维的内化与提炼。
三、基于思维可视化，实现“真学习”的基本策略
1.以退为进，放大思维空间。
著名数学家华罗庚指出：“善于‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失重要的地方，是学好数学的一个诀窍。”这就是以退为进的思想，也为我们课堂中关注不同层次学生的水平提供了可能，为实现课堂真学习提供了方法。进入高年级，学生的知识量增加了，难度也增加了，学生的思维层次差异也就更加明显了。因此，教学中整齐划一的教学设计不一定适合所有的学生，否则会出现优等生觉得课堂教学内容过于简单，学困生觉得过于复杂。面对这样的现状，我们可以在教学设计中尝试以退为进，让不同层次的学生都能实现“真学习”。
【案例】二年级下册，认识角
“角”这样一个概念，对学生而言比较抽象。学生心中的角和数学中的角还是有很大差异的，课堂中不妨以退为进，退到学生的认知起点处，即学生的元认知。通过问题引领，让学生说说自己心目中的角并尝试画一画。只有这样，教师才能定准学生的知识起点。以便课堂教学中有的放矢。（以下为部分学生作品）
有了这些丰富的教学资源，学生能够轻松地区分生活中的角和数学中的角。通过将学生对角不同程度的认识（前认识）集中体现在作图中，再选择有代表性的作品展示，引导学生对作业进行评判和修改，学生在辨析的过程中，经历了去伪存真的过程，对角的构成由模糊到清晰、由零散到完整，学生的思维也在逐步递进，深度学习也就悄然发生了。像这样的教学设计，看似学生在向后退，实则是在追寻数学问题的本质。
2.层层递进，推进思维过程。
《荀子.大略》有言：“善学者尽其理”。数学的学习亦是如此，学困生产生的原因之一就是不能理清数学知识的本质，知识之间缺乏沟通，造成了知识之间的断层。如果教学能够直面学生不同的思维，就可以通过一步步推进让学生明白知识背后的道理，从而让学生的学习变得更加轻松。
【案例】五年级，3的倍数特征
在研究2、3、5的倍数特征时，我们一般是这样有层次的推进，举例、猜想、验证、概括，但这样推进的背后，似乎总会出现一些问题。如，学生在研究3的倍数的特征时，是通过百数表中的圈画3的倍数来列举观察，然后通过观察“在计数器上分别表示几个3的倍数，看看给用了几个珠，你有什么发现”，最后得出判断方法“一个数各个数位上数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数”。尽管可以充分举例验证，但对于中等生和学困生，甚至是部分优等生都不太明白其中的道理。究其原因，学生在研究2和5的倍数特征没有直面问题本质，学生没有位值概念，也就不易理解3的倍数特征了。因此，这部分内容可以从2的倍数和5的倍数教学中开始推进：
学生研究“2和5的倍数特征”为什么只判断一个数的个位，以2的倍数特征为例。如16的个位是6,6是2的倍数，那么16就是2的倍数。这里十位上的“1”表示1个十，个位上的“6”表示6个一。教学中可以借助图示，帮助学生理解十是可以被2整除的，那么十位上是几，就表示几个十，1个十可以被2整除，几个十也可以，因此只要看个位能不能被2整除就可以了。同样三位数、四位数、多位数也是一样，“十”、“百”、“千”……都是可以被2整除的，所以只要看一个数的个位就可以了。通过这样的讲解，班级里不同层次的学生都能理解，其判断方法的本质原因。
3的倍数特征“各个数位上数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数”，这样判断有道理吗？有了2、5的倍数特征的研究，学生这里研究起来就比较简单了。可以通过数形结合将抽象的知识通过形象的图表示出来，可以是小棒，也可以是方格图。如，判断14是不是3的倍数，这里的“1+4”中的1并不是十位上的“1”，而是1个十除以3余下来的1；同样判断24是不是3的倍数，这里的“2+4”中“2”也不是十位上的“2”而是20除以3余下来的2。三位数的判断方法也是一样百位上的数和除以3余下来的数是一样的，因此才有了“各个数位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数”。
学生在研究这部分内容时，从2的倍数的特征开始，通过举例分析、独立思考、猜测验证、画图探究，明晰本质，逐步明白判断方法，让不同层次的学生都能知其然更知其所以然。“真学习”悄然发生。
3.齐头并进，丰富思维角度。
《数学课程标准》中明确指出“数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人得到不同的发展。”那么，实现“真学习”就需要让学生在已有的基础之上获得发展，教学设计应当要尽可能满足学生“齐头并进”的可能。
【案例1】六年级，圆的认识
《圆的认识》这一部分教学知识点比较多，难度不是太大，无论是哪一层次的学生，基本都能够掌握。但是这样的课堂优等生似乎少了发挥的空间，这样的课堂能不能通过合理的设计，让不同层次的学生都能有所发展呢。前段时间听了一位老师执教了这节课，其中有一个环节的设计，笔者颇为欣赏：
在方格图上画一个圆，使点A（4,4）和点B（8,4）在圆上，并且用数对表示圆心的位置。
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课堂中学困生将线段AB理解成圆的直径，只画出了一个圆；中等生以A为圆心，AB为半径或B为圆心，BA为半径画出两个圆；优等生能够以AB为圆中的弦，画出多个圆，并且能够发现这些圆的圆心在线段AB的中垂线上。这一环节的设计，不但能检测学生对本节课知识的理解，（如，圆心、半径、直径，直径是圆内最长的线段，弦等）而且能让不同层次的思维都有生长的空间。
【案例2】五年级，《小数的性质》
在学习历程案中，直接抛给学生一个问题：“你能猜一猜0.3和0.30这两个小数的大小关系吗？想办法证明你的猜测。”课堂中不同学生表征的方式也不同，大致有这样几种：
作为新授课，可以通过例题呈现的方式进行教学，但却无法看到不同层次学生的思维水平。通过学习历程案课堂中我们能清楚底看到不同层次学生的作品，当学生进行介绍、点评时，不同的思维之间就有了相互的碰撞，课堂中的学习就不再局限于师生之间，也可以发生在生生之间，教师只需适当点拨，如追问“不同方法之间有联系吗？”这样，原本低水平的学生能从不同的方法中获得一些启示，中等水平的学生能够掌握更多的方法，高水平的学生能够理解不同方法之间的本质，进而实现“齐头并进”。
综上所述，思维可视化有利于学生完整地经历整个学习的过程，也是提升学生学习能力，实现“真学习”的有效途径。在后续的教学中，笔者会继续以“让学生经历真学习”为教学第一目标，以“让学生思维可视化”为研究突破口，从而为课堂教学推波助澜，为不同学生的数学思维发展提供助力！
【参考文献】
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